如果将向量加法定义为 (x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y2,x2+y1)，不满足哪些向量空间的条件？

wufaxian

假设(x1, x2) + (y1, y2)定义成(x1+ y2，x2+ y1），伴随正常的纯量乘法 cx = (cx1, cx2)， 向量空间 8 个条件有哪些不满足?

答案：x + y \(\ne\) y + x and x + ( y + z)  \(\ne\)  (x + y ) + z and (c1+ c2)x  \(\ne\)  c1x + c2x.

答案有些看不懂。虽然定义的向量加法是“交叉的”，但是即便按照这个规则x + y =y + x 还是成立的。

luyuanhong

问 如果将向量加法定义为 (x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y2,x2+y1)，不满足哪些向量空间的条件？

（1）x+y=(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y2,x2+y1) ,

       y+x=(y1+y2)+(x1,x2)=(y1+x2,y2+x1) 。

     显然 x+y≠y+x ，不满足向量加法交换律 x+y=y+x 。

（2）x+(y+z)=(x1,x2)+[(y1,y2)+(z1,z2)]=(x1,x2)+(y1+z2,y2+z1)=(x1+y2+z1,x2+y1+z2) ，

       (x+y)+z=[(x1,x2)+(y1,y2)]+(z1,z2)=(x1+y2,x2+y1)+(z1,z2)=(x1+y2+z2,x2+y1+z1) 。

    显然 x+(y+z)≠(y+x)+z ，不满足向量加法结合律 x+(y+z)=(y+x)+z 。

（3）(c1+c2)x=(c1+c2)(x1,x2)=((c1+c2)x1,(c1+c2)x2)=(c1x1+c2x1,c1x2+c2x2) ,

      c1x+c2x=c1(x1,x2)+c2(x1,x2)=(c1x1,c1x2)+(c2x1,c2x2)=(c1x1+c2x2,c1x2+c2x1) 。

    显然 (c1+c2)x≠c1x+c2x ，不满足数字加法关于向量数乘的分配律 (c1+c2)x=c1x+c2x 。