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数轴上有n个点,有一个点从数轴很左边往很右边移动.

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发表于 2021-9-15 15:43 | 显示全部楼层 |阅读模式
数轴上有n个点,有一个点从数轴很左边往很右边移动,请问这个点到所有点的距离之和是否是一个单峰函数,有没有可能有多个峰
发表于 2021-9-15 16:44 | 显示全部楼层
本帖最后由 小fisher 于 2021-9-15 16:46 编辑

当动点在两点之间移动时,距离之和显然等于两点距离,是个常数;在两点之外移动时,距离之和S关于x的函数是条斜率为-2或2的直线,因为这时动点每移动1个单位,它到两点的距离之和会减少或增加2个单位。
推广到n个点,当动点处于n个点左侧时,S关于x的函数是条斜率为-n的直线,之后每经过一个点,斜率增加2,直至经过最右侧的点后,斜率变为n。
总体图像应该是个尖底(n为奇数)或平底(n为偶数)的山谷状折线。
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发表于 2021-9-15 16:50 | 显示全部楼层
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子:



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发表于 2021-9-16 12:48 | 显示全部楼层
函数变化情况我不清楚,我知道这个函数什么时候取最小值:
①当已知点有奇数个时,动点与最中间点重合时,函数取最小值。
②当已知点有偶数个时,动点在最中间两个点所在线段任意位置(包括端点)时,函数取最小值。
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