小擂台卷土重来

费尔马1

解程氏方程:
1013x^2111+3011y^4111=1301z^23221
求出其正整数解集通式。
(答案形式不限)

yangchuanju

先分解一下3个系数和3个指数       
1013        1013 is prime
3011        3011 is prime
1301        1301 is prime
2111        2111 is prime
4111        4111 is prime
23221        23221=11*2111
5个素数，1个二合数，可能比较好解！       

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-11-25 13:31
先分解一下3个系数和3个指数       
1013        1013 is prime
3011        3011 is prime

学生我认为这个题非常复杂啊！您看看，指数2111与23221有公约数2111，这就相当于是同次幂，三个指数其中有两个是同次幂，这样的不定方程不易解啊！况且还含有系数。本题为了减小难度，答案的指数可以不采用周期数的形式。

yangchuanju

假定不定方程解的结构是
X=1013^c1*3011^d1*1301^e1*a*b*[(a^u+b^u) /2]^s1*[(a^u－b^u ) /2]^t1
Y=1013^c2*3011^d2*1301^e2*[(a^u+b^u) /2]^s2*[(a^u－b^u ) /2]^t2
Z^2111=1013^c3*3011^d3*1301^e3*[(a^u+b^u) /2]^s3*[(a^u－b^u ) /2]^t3
其中，a、b为正整数，a＞b，a、b同奇或同偶；u=2111；其余15参变量待求。

依题给条件，可列5组指数不定方程：
2111*c1+1=4111*c2=11*c3
2111*d1=4111*d2+1=11*d3
2111*e1=4111*e2=11*e3+1
2111*s1=4111*s2=11*s3-2
2111*t1=4111*t2-2=11*t3

分别解5组不定方程
2111*c1+1=4111*c2=11*c3，给定c2，c3=4111*c2/11，c1=（4111*c2-1）/2111
2111*d1=4111*d2+1=11*d3，给定d3，d1=11*d3/2111，d2=（11*d3-1）/4111
2111*e1=4111*e2=11*e3+1，给定e1，e2=2111*e1/4111，e3=（2111*e1-1）/11
2111*s1=4111*s2=11*s3-2，给定s1，s2=2111*s1/4111，s3=（2111*s1+2）/11
2111*t1=4111*t2-2=11*t3，给定t1，t3=2111*t1/11，t2=（2111*t1+2）/4111
得                                                                       
c1        39073        d1        34925        e1        16444        s1        12333        t1        20592
c2        20064        d2        17934        e2        8444        s2        6333        t2        10574
c3        7498464        d3        6702425        e3        3155753        s3        2366815        t3        3951792

X=1013^39073*3011^34925*1301^16444*a*b*[(a^2111+b^2111) /2]^12333*[(a^2111－b^2111 ) /2]^20592
Y=1013^20064*3011^17934*1301^8444*[(a^2111+b^2111) /2]^6333*[(a^2111－b^2111 ) /2]^10574
Z^2111=1013^7498464*3011^6702425*1301^3155753*[(a^2111+b^2111) /2]^2366815*[(a^u－b^u ) /2]^3951792

yangchuanju

因Z^2111的五个指数c3,d3,e3,s3,t3有的不是2111的倍数，必须将它们扩大2111倍方可求出底数Z；相应的c1,d1,e1,s1,t1;c2,d2,e2,s2,t2均要扩大2111倍才行；
对于底数Z先乘2111再除2111，数值不变，Z的指数可直接用现Z^2111的指数；故原不动方程的最小正整数解是：
X=1013^82483103*3011^73726675*1301^34713284*a*b*[(a^2111+b^2111) /2]^26034963*[(a^2111－b^2111 ) /2]^43469712
Y=1013^42355104*3011^37858674*1301^17825284*[(a^2111+b^2111) /2]^13368963*[(a^2111－b^2111 ) /2]^22321714
Z=1013^7498464*3011^6702425*1301^3155753*[(a^2111+b^2111) /2]^2366815*[(a^u－b^u ) /2]^3951792

【附注】：前几天所解的几个三项式不定方程在处理[(a^u±b^u) /2]的指数不定方程中均有一个计算公式错误，故那几个不定方程的解不完全正确！
今天已对其中的（一）和（十一）进行了改正，但（二）至（十）中的错误未再改正；详见《变化一下赛题的条件》中的有关贴！
http://www.mathchina.com/bbs/for ... p;extra=&page=1

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-11-25 21:51
因Z^2111的五个指数c3,d3,e3,s3,t3有的不是2111的倍数，必须将它们扩大2111倍方可求出底数Z；相应的c1,d1,e ...

杨老师非常棒！您的这种解法是你的创新，学生我不会。您的答案我暂时也没有时间检验，不知道你自己检验了吗?我以后抽时间再解这个题，看看是否可以得到您的这个答案?谢谢老师！