以下关于A乘可逆矩阵后秩不变的证明是否不完整？

wufaxian

原证明如下：
若 EA = R 且 E 是可逆,为什么 A 与 R 有相同的零空间?
解   若 Ax = 0 则  Rx = EAx = E0 = 0   若 Rx = 0 则  Ax =\(E^{-1}\)Rx = \(E^{-1}\) 0 = 0   A 与 R 有同样的行空间及同样的秩。


我觉得证明过程不完整应作如下补充，请看是否画蛇添足
设A是mxn的矩阵，则EA=R,R还是mxn的矩阵。由上述证明可知A与R有相同的“零空间维度”。所以A与R的行空间维度都是n-“零空间维度”。所以A与R有相同的行空间维度，所以A与R秩相等

liangchuxu

一个可逆矩阵可分解成若干个初等矩阵之积，EA等同于对A作若干次初等行变换，而初等行变换不改变原矩阵秩。

wufaxian

liangchuxu 发表于 2022-1-9 19:58
一个可逆矩阵可分解成若干个初等矩阵之积，EA等同于对A作若干次初等行变换，而初等行变换不改变原矩阵秩。

我在网上搜索，看到过这种证明方法。
在我看的书里，我印象只有LU分解中提到L的逆是初等变换矩阵的乘积。但是似乎没讲过可逆矩阵可以分解成若干初等矩阵之积，除非U可以看成初等矩阵。
所以我对这种解释比较陌生

我贴出的原证明，就是我看的书中的证明。估计因为没讲过“可逆矩阵可以分解成若干初等矩阵之积”，所以没有用这种方法证明吧。

liangchuxu

wufaxian 发表于 2022-1-9 21:25
我在网上搜索，看到过这种证明方法。
在我看的书里，我印象只有LU分解中提到L的逆是初等变换矩阵的乘积 ...

这是一个基本定理：任何一个可逆矩阵总可以通过一系列初等行变换化为单位矩阵---证明很简单