设单位圆上 A,B 两点对应的复数坐标为 a,b ，证明：(a-b)／√(ab) 必为纯虚数

天山草

单位圆上的 A、B点的复数坐标分别为 a、b， 证明 \((a-b)/(\sqrt{ab})\) 必为纯虚数。

数字验证如下：



换一组数字及 a、b 表达式：

天山草

下面这个是  simpley 网友的证明。证明完全正确。




可见 A、B 点在任何一个圆上都行，不限于必须是单位圆。

luyuanhong

楼上 天山草 的帖子和 simpley 的解答都很好！已收藏。

天山草

另一种证法如下：

kanyikan

令a=cos(α)+isin(α)，b=cos(β)+isin(β)，
则a-b=cos(α)+isin(α)-(cos(β)+isin(β))=(cos(α)-cos(β))+i(sin(α)-sin(β))
=-2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2)+2icos((α+β)/2)sin((α-β)/2)
=2isin((α-β)/2)(cos((α+β)/2)+isin((α+β)/2))
√(ab)=cos((α+β)/2)+isin((α+β)/2)，
所以(a-b)/√(ab)=2isin((α-β)/2)，为纯虚数。

denglongshan

\(设\sqrt{ab}=t{,}得b=\frac{t^2}{a}\)代入原式即可证明

luyuanhong

楼上 天山草 和 kanyikan 的另一种证法也很好！已收藏。

ba571016

数学千年的城堡
游荡着“虚数”的幽灵
它从√-1的沼泽浮出
装神弄鬼了几个世纪

它的身形虚玄飘忽
数学前辈们迷惘敬畏
为它呕心塑造神像
建起“复数理论”宏大庙宇

它本有一致命死穴：
那是1>-1,又怎会1÷(-1)=(-1)÷1  ??
欧洲叫阿润德的“那小孩”早已看出
可数学皇帝们熟视无睹

如今是否真相大白：
数学华贵的语言符号
含义也会随“数境”发生改变
1÷(-1)=(-1)÷1  
是因1÷(-1)，“-”为“颠反”意！
(-1)×(-1)
原是1×1拆射
留下的倒影！

是否“虚数”装神弄鬼的时代终将结束？
是否为它建起的庙宇终将衰败？
这只是一个时间问题？





对这一问题的详细论证，请参阅《是要虚数，还是要虽1>-1,而1÷(-1)=(-1)÷1仍能成立？谁生谁亡的问题？》

ba571016

数学千年的城堡
游荡着“虚数”的幽灵
它从√-1的沼泽浮出
装神弄鬼了几个世纪

它的身形虚玄飘忽
数学前辈们迷惘敬畏
为它呕心塑造神像
建起“复数理论”宏大庙宇

它本有一致命死穴：
那是1>-1,又怎会1÷(-1)=(-1)÷1  ??
欧洲叫阿润德的“那小孩”早已看出
可数学皇帝们熟视无睹

如今是否真相大白：
数学华贵的语言符号
含义也会随“数境”发生改变
1÷(-1)=(-1)÷1  
是因1÷(-1)，“-”为“颠反”意！
(-1)×(-1)
原是1×1拆射
留下的倒影！

是否“虚数”装神弄鬼的时代终将结束？
是否为它建起的庙宇终将衰败？
这只是一个时间问题？





对这一问题的详细论证，请参阅《是要虚数，还是要虽1>-1,而1÷(-1)=(-1)÷1仍能成立？谁生谁亡的问题？》