令 ω=cos(2π／111)+isin(2π／111) ，求 ∑(k=1,110)ω^(2k)／(ω^k-1) 的值

wintex

令 ω=cos(2π／111)+isin(2π／111) ，求 ∑(k=1,110)ω^(2k)／(ω^k-1) 的值

luyuanhong

wintex

luyuanhong 发表于 2022-4-19 18:52

老師，答案給54 ， 但我也看不出妳的答案有問題

luyuanhong

wintex 发表于 2022-4-20 14:39
老師，答案給54 ， 但我也看不出妳的答案有問題

我上面第 2 楼中的解答，不小心把题目抄错了，分母中“-”错成了“+”，下面是正确的解答：

fungarwai

\(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{110}x^n,~f(1)=111,~f'(1)=\sum_{n=0}^{110}n=\frac{110\times 111}{2}\)

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{110}\frac{\omega^{2k}}{\omega^k-1}
=\sum_{k=1}^{110}\frac{\omega^{2k}-1+1}{\omega^k-1}
=\sum_{k=1}^{110}\left(\omega^k+1+\frac{1}{\omega^k-1}\right)\)
\(=\displaystyle -1+110-\frac{f'(1)}{f(1)}=-1+110-55=54\)

luyuanhong

楼上 fungarwai 的解答很好！已收藏。