x^3+px^2+qx+r=0 的三根皆为正实数，求三根可成为一个三角形三个角的余弦值的充要条件

jvk0825

請問此題如何求解?

波斯猫猫

题：x^3+px^2+qx+r=0 的三根皆为正实数，求三根可成为一个三角形三个角的余弦值的充要条件。

思路：显然，方程x^3+px^2+qx+r=0 的三个正实根可成为△ABC三个角的余弦值的充要条件是

cosA+cosB+cosC=-P，cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA=q，cosAcosBcosC=-r(-1＜r＜0)。

又在△ABC中，有(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC，

且sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≤1/8，

即，(cosA+cosB+cosC)^2-2(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)+2cosAcosBcosC-1=0，

且1-(cosA+cosB+cosC)+(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)-cosAcosBcosC≤1/8。

故其充要条件是：p^2-2q+2r-1=0，且1+p+q+r≤1/8 (-1＜r＜0)。

注：p和q的范围隐含在关系式中。

jvk0825

波斯猫猫 发表于 2022-6-6 10:40
题：x^3+px^2+qx+r=0 的三根皆为正实数，求三根可成为一个三角形三个角的余弦值的充要条件。

思路：显然 ...

非常謝謝你的解答

luyuanhong

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fevrlnbla

1-(cosA+cosB+cosC)+(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)-cosAcosBcosC≤1/8 這是怎麼來的

fevrlnbla

fevrlnbla 发表于 2022-6-16 20:24
1-(cosA+cosB+cosC)+(cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA)-cosAcosBcosC≤1/8 這是怎麼來的

了解，那其中一個條件是不是p^2-2q-2r-1=0