在 16 世纪,代数方程仍然是用文字而不是符号来表达的,所有的系数都必须是非负的,因为数学家不承认负数的合理性。由于缺少对于未知数 x 的概念,x^3+cx=d 形式的三次方程被描述为“一个立方体加一些东西等于一个数”,这与“一个立方体等于一些东西加一个数”x^3=cx+d 不同。虽然今天我们把求解 ax^3+bx^2+cx+d=0 看成一个问题,但在当时,等号两边有项,或者没有,被看成是许多不同的问题。
没有现代代数的符号,数学家只能用几何推理。例如,把 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 看作边长为 a+b 的正方形的面积等于边长为 a 的正方形、边长为 b 的正方形和两个 a×b 矩形的面积之和。
同样地,将边长为 t 的立方体分解为 6 个方块可以有下面的表达:
希皮奥内·德尔·费罗(Scipione del Ferro)是 16 世纪早期博洛尼亚大学的一位教授,他是第一个在求解三次方程方面取得重大进展的人。不幸的是,由于当时奇怪的学术保密文化,我们并不知道他的所有成就。学者们不会急于发表自己的研究成果,也不会陶醉于证明一个定理或解决一个问题获得的认可,他们会互相挑战,进行“数学决斗”:互相发送具有挑战性的问题,谁解决得最多,谁就获胜。胜利者往往会获得职业发展和更多的学生。因此,这些发现有时会被储存起来,成为将来在竞赛中使用的秘密武器。
当 c 和 d 为正时,费罗可以解出 x^3+cx=d 的方程。像这样没有平方项的三次方程被称为“亏损立方(depressed cubic)方程”。尽管 16 世纪的数学家不会用这种表达式,但费罗证明了其中一个根是: