如何解读双筛法？意义非凡

cuikun-186

根据双筛法及素数定理可进一步推得：r2（N）=（N/2)∏mr≥[ N/(lnN)^2]≥1
证明：
对于共轭互逆数列A、B:
A:｛1,3,5,7,9,……,（N-1）｝
B:｛（N-1）,……,9,7,5,3,1｝
显然N=A+B
根据埃氏筛法获得奇素数集合{Pr}：
｛1，3，5，…，Pr｝,Pr<√N
为了获得偶数N的(1+1)表法数，按照双筛法进行分步操作：
第1步：将互逆数列用3双筛后得到真实剩余比m1
第2步：将余下的互逆数列再用5双筛后得到真实剩余比m2
第3步：将余下的互逆数列再用7双筛后得到真实剩余比m3
…
依次类推到：
第r步：将余下的互逆数列再用Pr双筛后得到真实剩余比mr
这样就完成了对偶数N的求双筛法（1+1）表法数，根据乘法原理有：
r2(N)=（N/2）*m1*m2*m3*…*mr
即r2(N)=(N/2)∏mr
例如：
[√70]=8，{Pr}={1,3,5,7},
3|/70，首先这35个奇数用3双筛后得到剩余13个奇数，则其真实剩余比：m1=13/35
5|70, 剩余的13个奇数再用5双筛剩余10个奇数，则其真实剩余比：m2=10/13
7|70, 剩余的10个奇数再用7双筛剩余10个奇数，则其真实剩余比：m3=10/10
根据真值公式得：
r2(70)
=(70/2)*m1*m2*m3
=35*13/35*10/13*10/10
=10
r2(70)=10

分析r2(N)=(N/2)∏mr的下限值：
双筛法本质上第一步:先对A数列筛选，根据素数定理，A中至少有[N/lnN ]≥1个奇素数，
即此时的共轭互逆数列AB中至少有[N/lnN ]个奇素数,
筛选出来的[N/lnN ]个奇素数与B中的奇数对应方式有且仅有两种方式：
【1】奇素数p1+奇素数p2,其中p1是A中的奇素数,p2是B中的奇素数
【2】奇素数p3+奇合数c2,其中p3是A中的奇素数,c2是B中的奇合数
(由于它们是共轭的，则：奇合数c2+奇素数p3,其中p3也是B中的奇素数,c2也是A中的奇合数)
第二步:再对B数列进行筛选，对应的筛选比例至少是相同的 1/lnN，筛掉的全部都是B中的奇合数，
由于AB是共轭的，那么奇素数p3也被同步对应筛掉了，则由此推得共轭数列AB中至少有:
r2(N)≥[ N/lnN]*1/lnN=[N/(lnN)^2 ]≥1个奇素数。。
例如：30第一步:先对A数列筛选，A中至少有[N/lnN ]=[30/ln30 ]=8个奇素数,而π(30)=10
即此时的共轭互逆数列AB中至少有[N/lnN ]=[30/ln30 ]=8个奇素数
第二步:再对B数列进行筛选，筛子是相同的  , 由此推得共轭数列AB中至少有:
r2（30）≥[ 30/(ln30)^2 ]=2个奇素数,而r2(30)=8

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分析r2(N)=(N/2)∏mr的下限值：
双筛法本质上第一步:先对A数列筛选，根据素数定理，A中至少有[N/lnN ]≥1个奇素数，
即此时的共轭互逆数列AB中至少有[N/lnN ]个奇素数,
筛选出来的[N/lnN ]个奇素数与B中的奇数对应方式有且仅有两种方式：
【1】奇素数p1+奇素数p2,其中p1是A中的奇素数,p2是B中的奇素数
【2】奇素数p3+奇合数c2,其中p3是A中的奇素数,c2是B中的奇合数
(由于它们是共轭的，则：奇合数c2+奇素数p3,其中p3也是B中的奇素数,c2也是A中的奇合数)
第二步:再对B数列进行筛选，对应的筛选比例至少是相同的 1/lnN，筛掉的全部都是B中的奇合数，
由于AB是共轭的，那么奇素数p3也被同步对应筛掉了，则由此推得共轭数列AB中至少有:
r2(N)≥[ N/lnN]*1/lnN=[N/(lnN)^2 ]≥1个奇素数。。
例如：30第一步:先对A数列筛选，A中至少有[N/lnN ]=[30/ln30 ]=8个奇素数,而π(30)=10
即此时的共轭互逆数列AB中至少有[N/lnN ]=[30/ln30 ]=8个奇素数
第二步:再对B数列进行筛选，筛子是相同的  , 由此推得共轭数列AB中至少有:
r2（30）≥[ 30/(ln30)^2 ]=2个奇素数,而r2(30)=8