关于可数集的并还是可数的证明问题

wufaxian

普林斯顿数学分析读本P79

参考定义：
定义 8.6 (可数性).
对于任意集合 A，如果 A ～ N，我们就说 A 是可数的．如果 A 是有限的或者可数的，则 A 是至多可数的．如果 A 是无限的且不是可数的，那么 A 就是不可数的．
定理 8.7 (势与可数性).
对于任意两个集合 A 和 B，如果 A ～ B，那么 A 和 B 要么是元素个数相
同的有限集，要么都是可数集，要么都是不可数集．


我的问题：请看下图红色下划线。已经说了S是“至多可数” ，又说了“S 不可能是有限集”。那么根据上方定义8.6，S当然就是“至多可数”，怎么最后反而得出“所以 S 一定是可数的”结论呢？
                    第二条红线：可数集的不可数并，我的理解，各个集合En的下标n要从自然数变成实数（且不能是自然数），这样才能真正变成“不可数并”。可是下标怎么可以是非自然数呢？可否举个例子？

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