动点 A 在椭圆 x^2／25+y^2／16=1 上，动点 B 在圆 (x-6)^2+y^2=1 上，求 AB 的最大值

dodonaomikiki

如果图形上看，
椭圆左端点，圆的右端点，两点之间的距离，难道不是最大吗？
但又想，如果这样，
这道题目也太简单了，又觉得不可能

dodonaomikiki

图形学上看，确实有趣！
龟壳以及圆圆的龟头

Nicolas2050

你得证明他是最大！

dodonaomikiki

自己的猜想是：
存不存在这样一条直线？但感觉也未必靠谱！
pq难道是最长的一条直线？

dodonaomikiki

吧图形补上

刘海明

可以参数化  x/5=sina  y/4=cosa    所以A(5sina  4cosa)   设圆心为C(6 0)   AB的最小值是 AC-1
最大值是AC+1    ,AC^2=(5sina-6)^2+(4cosa-0)^2=25sina^2-60sina+36+16cosa^2=25sina^2-60sina+36+16(1-sina^2)=25sina^2-60sina+36+16-16sina^2=9sina^2-60sina+52   0≦a≦2∏   -1≦sina≦1
令t=sina  f(t)=9t^2-60t+52  对称轴t=60/18=10/3   'AC^2max=f(-1)=9+60+52=121AC=11AB=AC+1=11+1=12

liangchuxu

OA于OB无直接数量关系。

dodonaomikiki

可以参数化 :
假设椭圆上一点 \(    A(5sin\alpha,  4cos\alpha)    \)
  \(    设圆心为C(6, 0)    \)
  \(    最大值是AC+1  \)

\begin{align*}
AC^2
&=(5sin\alpha-6)^2+(4cos\alpha-0)^2\\
&=25sin^2\alpha-60sin\alpha+36+16cos^2\alpha\\
&=25sin^2\alpha-60sin\alpha+36+16(1-sin^2\alpha)\\
&=25sin^2\alpha-60sin\alpha+36+16-16sin^2\alpha\\
&=9sin^2\alpha-60sin\alpha+52   
\end{align*}



\(  Set: t=sin\alpha\)

  \(   \Longrightarrow   AC^2=9t^2-60t+52   \)
观察这个函数
\(  t取-1比较好   \)
即是，  \(  sin\alpha取-1   \)
即是， \(   \alpha取\pi   \)





接下来，  \(    t=-1  \)
\begin{align*}
\Longrightarrow   AC^2&=9(-1)^2-60(-1)+52   \\
&=9+60+52\\
&=69+52\\
&=121\\
\end{align*}
\( \Longrightarrow    The  \qquad   maximum  \qquad    of   \qquad    AC=\sqrt{ 121  }=11   \)

luyuanhong

楼上 liangchuxu 的解答很好！已收藏。