【答】计算二元函数 f(x,y)=5x^2+5y^2-8xy 在条件 x^2+y^2-xy=75 下的最小值

dodonaomikiki

大连理工2023研究生入学考试【二元函数以及最小值】

时空伴随者

\(f(x,y)=2(x^2+y^2-xy)+3(x-y)^2\ge 150 \)

luyuanhong

王守恩

偷懒解法：取 x=y，x^2+x^2-x^2=75，5x^2+5x^2-8x^2=150

凡是交换 x 与 y 的位置，算式不变的题目都可以用这偷懒解法。你能举出反例来吗？

wilsony

可以用拉格朗日待定系数法求极值吗？

lihp2020

凡是交换 x 与 y 的位置，算式不变的题目都可以用这偷懒解法  也有可能是x=-y

dodonaomikiki

wilsony 发表于 2023-1-3 17:52
可以用拉格朗日待定系数法求极值吗？

如果从未知数个数来讲，好像可以!
构建三个方程，解答出三个未知数
\(x,y,\lambda\)

dodonaomikiki

王守恩 发表于 2023-1-3 17:20
偷懒解法：取 x=y，x^2+x^2-x^2=75，5x^2+5x^2-8x^2=150

凡是交换 x 与 y 的位置，算式不变的题目都可以 ...

wo觉得抓住一个点，
进行计算，
比较偷懒和省力，也适合我这种木有天赋的人


\(Set:  P=x^2+y^2=75+xy\)
\begin{align*}
\Longrightarrow    F&=5P-8xy\\
&=375-3xy\\
&\succeq   375-\frac{3}{2}\bullet   ( x^2+y^2  )\\
&=375-3 x^2\\
&=375-3(5\sqrt{3})^2\\
&=375-3\bullet  75\\
&=375-225\\
&=150\\
\end{align*}