变换矩阵为 [3,2；2,3] 的平面线性变换将单位圆 C 变为椭圆 E，求该椭圆长半轴的长度

dodonaomikiki

从表象看，题目似乎并没有“那么高难度”
那么，提出一个”奇异问题“
长半轴的长度，
可否运用初中或者高中的办法，把她解答出来？ :L

luyuanhong

下面是一种中学生也会做的解法。解法中把本题所给的线性变换理解为 u=3x+2y ，v=2x+3y 。

第 1 楼中的解法，把本题所给的线性变换理解为 x=3u+2v ，y=2u+3v ，所以最后答案不一样。

luyuanhong

dodonaomikiki

针对\(13u^2-24uv+13v^2=25\)
观察一下这个椭圆，
非常特殊，
用y=x直接去切割，
就可以得到两个点，计算出二倍长半轴


\begin{align*}
2a&=\sqrt{    [\frac{5}{\sqrt{2}}-   (-  \frac{5}{\sqrt{2}} )  ] ^2  \bullet    2           }\\
   &=\sqrt{    (  \sqrt{2}      \bullet    5      )^2 \bullet 2     }\\
&=\sqrt{   4  \bullet  25    }\\
&=10\\
\Longrightarrow    & a=5\\
\end{align*}

dodonaomikiki

针对\(13u^2-24uv+13v^2=1\)这个斜妥，
转了负45度，
呈现出一个什么样的状态呢？

dodonaomikiki

转了45度

dodonaomikiki

从这样一个作图来看，
反观出原本的一个斜椭圆的一些性状