哥猜表法数r2(N)下限值函数是增函数之简证

cuikun-186

哥猜表法数r2(N)下限值函数是增函数之简证

                                                         崔坤

                              中国青岛即墨，E-mail:cwkzq@126.com

摘要:通过建立共轭互逆的等差数列A和B，

根据埃氏筛法运用Pr集合里的每个独立元素分别按序对A和B数列双筛，

得到真值公式r2(N)＝（N／2）∏mr，偶数N≥6;

然后对其下限值估计，根据素数定理最终得到：r2(N)＝（N／2）∏mr≥N/(lnN)^2

关键词：共轭互逆等差数列，埃氏筛法，素数定理，表法数r2(N)，素数，真实剩余比

中图分类号：O156             文献标识码：A

证明：对于共轭互逆数列A、B:

A:｛1,3,5,7,9,……,（N-1）｝

B:｛（N-1）,……,9,7,5,3,1｝

显然N=A+B，偶数N≥6,

根据埃氏筛法获得奇素数集合{Pr}：｛1，3，5，…，Pr｝,Pr<（N）^1/2

为了获得偶数N的(1+1)表法数r2(N)，按照双筛法进行分步操作：

第1步：将互逆数列AB用3双筛后得到真实剩余比m1

第2步：将余下的互逆数列再用5双筛后得到真实剩余比m2

第3步：将余下的互逆数列再用7双筛后得到真实剩余比m3
…

依次类推到：第r步：将余下的互逆数列再用Pr双筛后得到真实剩余比mr,

这样就完成了对偶数N的求双筛法（1+1）表法数r2(N)，

由于运用Pr集合中的每个元素进行的筛选是独立事件，

则根据乘法原理有：r2(N)=（N/2）*m1*m2*m3*…*mr;

即r2(N)=(N/2)∏mr

例如：70，[√70]=8，{Pr}={1,3,5,7},

3|/70，首先这35个奇数用3双筛后得到剩余13个奇数，则其真实剩余比：m1=13/35

5|70,剩余的13个奇数再用5双筛剩余10个奇数，则其真实剩余比：m2=10/13

7|70,剩余的10个奇数再用7双筛剩余10个奇数，则其真实剩余比：m3=10/10

根据真值公式得：r2(70)=(70/2)*m1*m2*m3=35*13/35*10/13*10/10=10，r2(70)=10

显见，公式r2(N)=(N/2)∏mr是从微观上给出了偶数N的(1+1)表法数r2(N)的，

那么从宏观上我们也可以分析r2(N)=(N/2)∏mr的下限值，双筛法本质上：

第一步:先对A数列筛选，A中拥有奇素数的比例为π（N)/N,

根据素数定理，A中至少有N/lnN≥1个奇素数，即获得素数的比例至少是1/lnN;

第二步:再对B数列进行筛选，B中拥有奇素数的比例为π（N)/N,

根据素数定理,B中也至少有N/lnN≥1个奇素数，即获得素数的比例至少是1/lnN；

那么根据乘法原理要获得共轭数列AB中的素数对的比例至少是：（π（N)/N）*（π（N)/N），

或者是（1/lnN）*（1/lnN）,

则由此推得共轭数列AB中至少有:

r2(N)=(N/2)∏mr≥[N*π（N)/N*π（N)/N]=[(π（N))^2/N]

或者r2(N)=(N/2)∏mr≥N*（1/lnN）*（1/lnN）=N/(lnN)^2

即：r2(N)=(N/2)∏mr≥N/(lnN)^2，

或者r2(N)=(N/2)∏mr≥[(π（N))^2/N]

N≥8时，显见f(N)=N/(lnN)^2是r2(N)的下限值函数且为增函数

证明：对于函数f(x)=x/(lnx)^2，则：

f'(x)=[x/(lnx)^2]'

=[（lnx)^2-x*2（lnx）*(1/x)]/(lnx)^4

=[(lnx)^2-2lnx]/(lnx)^4

=(lnx-2)/(lnx)^3

即f'(x)=(lnx-2)/(lnx)^3

当x≥8时

lnx-2≥ln8-2≥2.079-2>0

从而：f'(x)>0，对于函数f(x)是严格单调增大,

即：哥猜表法数r2(N)下限值函数是增函数

结论：哥猜表法数r2(N)下限值函数是增函数

参考文献：王元，《谈谈素数》，哈尔滨工业大学出版社，2011-3

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r2(N)≥[(π（N))^2/N]之验证：

r2(6)=3，π（6)=3，r2(6)=3≥[(π（6))^2/6]=[9/6]=1，r2(6)=3≥1【正确】

r2(8)=4，π（8)=4，r2(8)=4≥[(π（8))^2/8]=[16/8]=2，r2(8)=4≥2【正确】

r2(10)=3，π（10)=4，r2(10)=3≥[(π（10))^2/10]=[16/10]=1，r2(10)=3≥1【正确】

r2(12)=3，π（12)=5，r2(12)=4≥[(π（12))^2/12]=[25/12]=2，r2(12)=4≥2【正确】

r2(14)=5，π（14)=6，r2(14)=5≥[(π（14))^2/14]=[36/14]=2，r2(14)=5≥2【正确】

r2(16)=4，π（16)=6，r2(16)=4≥[(π（16))^2/16]=[36/16]=2，r2(16)=4≥2【正确】

r2(18)=6，π（18)=7，r2(18)=6≥[(π（18))^2/18]=[49/18]=3，r2(18)=6≥3【正确】

r2(20)=6，π（20)=8，r2(20)=6≥[(π（20))^2/20]=[64/20]=3，r2(18)=6≥3【正确】

r2(22)=5，π（22)=8，r2(22)=6≥[(π（22))^2/22]=[64/22]=2，r2(22)=5≥2【正确】

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r2(38)=5，π（38)=12，r2(38)=5≥[(π（38))^2/38]=[144/38]=3，r2(38)=5≥3【正确】

r2(98)=8，π（98)=25，r2(98)=8≥[(π（98))^2/98]=[625/98]=6，r2(98)=8≥6【正确】

r2(100)=12，π（100)=25，r2(100)=12≥[(π（100))^2/100]=[625/100]=6，r2(100)=12≥6【正确】



r2(1000)=56，π（1000)=168，r2(1000)=56≥[(π（1000))^2/1000]=[28224/1000]=28，

r2(1000)=56≥28【正确】