菲利克思·克莱因（Felix Klein，1849~1925）

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菲利克思·克莱因（Felix Klein，1849~1925）

作者 | 康明昌

来源 | 《数学传播》2022 第 46 卷 1 期（181）



1. 建设世界一流的数学中心

1885 年 Felix Klein（1849~1925）在莱比锡大学（Univ. of Leipzig）担任教授已经将近六年。这年秋天，他接到哥廷根大学（Univ. of Gottingen）的邀请函，邀请他到哥廷根任教。Klein 提出一个条件。

原来 Klein 在 Leipzig 大学推动一项改革：他把数学图书馆改成开放式的管理。用户不必填写借书条，他可以自行到书库取书，然后由图书馆人员登记，就完成借书手续。

Klein 希望 Gottingen 大学图书馆能够比照 Leipzig 大学的管理方式。在 Klein 到 Gottingen 就任之前，Gottingen 大学的数学图书馆重新装潢设计，并附设一间阅览室，以符合 Klein 的条件 [p.4]。

Gottingen 是 Klein 旧游之地，他在这里做 Habilitation（1871 年）。他受知于 Gottingen 大学的教授 Alfred Clebsch（1833~1872），才能够在 23 岁就受聘为 Erlangen 大学教授（注1）。

Klein 此行到 Gottingen 怀着一个梦想，他要在 Gottingen 大学建设一个世界一流的数学中心，乃至于一个世界一流的科学中心（注2）。

Gottingen 大学正式的名称叫做 Georg-August-Universitat ，成立于 1737 年。Gottingen 位于今日德国中部。它早期隶属于 Hanover 选侯国与 Hanover 王国；Hanover 在德文写成 Hannover。Hanover 选侯国在拿破仑席卷欧洲各国的狂飙时亡国，维也纳会议时 Hanover 选侯国复国，还升格为王国：Hanover 王国。

1866 年普奥战争，普鲁士突然出兵 Hanover 王国，从此 Hanover 变成普鲁士的一部分。普鲁士王国在 1871 年改称德意志第二帝国，习称德国。

Gottingen 大学是伟大的 Carl Friedrich Gauss（1777~1855）求学与工作的地方。Gauss不喜欢教书，不过他仍然有几个博士班学生：Bessel（1810 年博士），Gerling（1812 年博士），Stern（1829 年博士），Riemann（1851 年博士），Dedekind（1852 年博士）。Bessel，Riemann，Dedekind 都是大名鼎鼎的学者。Gerling 有一个学生 Plücker，而 Plücker 正是 Klein 的老师。Stern 教过 Riemann，他与 Riemann 在 1859 年同时被聘为教授 ，从此 Gottingen 大学有两位数学教授。

Hanover 政府在 1850 年为了培养数学与物理教师成立数学与物理研习会（Math.-Physics Seminar），这个研习会在 1922 年转型为 Gottingen 大学的数学系。

Gauss 去世之后，他的职位由柏林大学教授 Lejeune Dirichlet（1815~1859）继承。Dirichlet 在位仅四年就去世。1859 年 G. F. Bernhard Riemann（1826~1866）与 Moritz A. Stern（1807~1890）同时被聘为教授。Stern 是 Gauss 的学生，据说是很称职的教师。三年后 Riemann 染上肺结核，此后大部分时间都在意大利疗养。Stern 在 1885 年退休。

1866 年 Riemann 去世，接着 Hanover 被并吞，柏林大学的声势日益高涨，Gottingen 大学因为 Dirichlet，Riemann，Clebsch，Fuchs 在位期间短促，其学术发展不免受到影响 。Fuchs 这个名字在本文下一节将会出现。

2. Gottingen 的数学教授

1855 年 E. Kummer（1810~1893）与L. Kronecker（1823~1891）到柏林大学工作，次年 K. Weierstrass（1815~1897）也来柏林大学。Kronecker 出身银行世家，家境富裕，因此不寻找教职谋生；因为他是柏林科学院士，有资格在柏林大学开课并参加各种学术活动。直到 1884 年 Kummer 退休后，Kronecker 才担任柏林大学的教授。柏林大学成为当时德国最先有三个数学教授的大学：Weierstrass，Kronecker，Fuchs [p.66，p.77]。

Kummer 的研究领域是数论（regular prime numbers，decomposition of ideals in a Dedekind domain）与 Kummer surfaces。Weierstrass 是分析与椭圆函数（双周期函数）的大师，Kronecker 是代数与类体论的权威。1850~1890 年代是柏林大学数学的高峰时期。

Riemann 在 1866 年去世，Gottingen 大学只剩下 Stern 一个数学教授。两年后，Riemann 的职位由 Alfred Clebsch（1833~1872）继任。

Clebsch 的专长是代数几何与不变量理论，尤其是 abelian functions（注4 )。Clebsch 在 Giessen 大学任教期間（1863~1868）吸引许多学生（追随者），如：Paul Gordan，Alexander Brill，Max Noether，F. Lindemann，Jacob Lüroth 。日后 Max Noether 沿着 Clebsch 指出的方向研究代数曲面，对于意大利代数几何学者有很大的影响。

Crelle 在 1826 年创办 Crelle's Journal，这份期刊后来由柏林大学的人担任主编（Borcherds 与 Kronecker）。1869 年 Clebsch 与 Carl Neumann（Leipzig 大学）共同创办 Mathmatische Annalen，显然是向 Crelle's Journal 叫阵。

1872 年 Clebsch 不幸感染白喉去世。他的职位由 Lazarus Fuchs（1833~1902）接任。Fuchs 在位只有一年（1874~1875）就转到 Heidelberg 大学任教，因为他喜欢 Heidelberg 附近的自然景观。

Fuchs 留下的职缺由 Hermann Schwarz（1843~1921）继任。1885 年 Stern 退休，这使得 Klein 有机会到 Gottingen 大学。

Fuchs 与 Schwarz 出身柏林大学，他们分别是 Kummer 与 Weierstrass 的学生。在他们的老师退休时（1884 年与 1892 年）都被邀请回柏林大学任教。

Fuchs 这个名字在本文第 6 节与第 7 节还会出现：Fuchs 群（Fuchsian group）与 Fuchs 函数（Fuchsian function）。Schwarz 的名字在复变函数的课本出现过（Schwarz Lemma）。Schwarz 是 Kummer 的女婿。

Schwarz 离开 Gottingen 之后，他留下来的空缺由 Heinrich Weber（1842~1913）填补。Weber 与 R. Dedekind（1831~1916）是 Riemann 全集的主编（1876 年出版）。他是一个数论学者（Kronecker-Weber 定理）。Dedekind-Weber 定理把代数数论里面 ideal theory 的方法引入代数曲线的研究，成为交换代数的先河。

Weber 在 Konigsberg 大学任教时（1875~1880），Hilbert 与 Minkowski 刚好是那里的学生。

1895 年 Weber 离开 Gottingen 大学，到 Strassboug 大学，因为他有一个女儿住在 Strassboug 。Weber 在 Strassboug 工作时有一个学生 F. W. Levi ，他后来流亡到印度十多年，并曾在 TIFR 工作过 [p.17，注11]。

Klein 把 Weber 留下来的职位聘请 David Hilbert 。Hilbert 正值壮年（33 岁），刚解决不变量理论的 Gordan 问题，俨然是德国代数学界的明日之星。第二年他受德国数学会（DMV）委托写的数论报告（Zahlbericht）出版，这本报告把代数数论的结果重新组织并提出新的研究方向。1899 年 Hilbert 出版《Foundation of Geometry》，用新的观点探讨初等几何。

在 ICM Paris（1900年）的演讲，Hilbert 提出 23 个尚待解决的问题，成为二十世纪许多数学活动的焦点。不过二十世纪新诞生的不少数学分支（如：表示论、动力系统、有限单群、测度论等）跟 Hilbert 问题没有任何关系。

Hilbert 是个纯数学家，Klein 是强调数学、物理与应用科学（航天科技、电机）密切联系的人。Hilbert 专心于学术研究，Klein 像个不务正业的「无事忙」，一天到晚只忙着媒合数学界、科学界与工程界。但是 Klein 与 Hilbert 两人却配合得十分好。

Gottingen 的学生流传一个消息：Gottingen 大学的数学家有两种人，一种是做他喜欢做的事，但是 Klein 不喜欢的事；另一种人是做 Klein 喜欢的事，但是他本人不乐意的事。Klein 不属于以上两种人，所以 Klein 不是数学家 [p.88-89]。

3. Klein 的学习之旅

Klein 出生于 Düsseldorf ，他的父亲是当时的市长秘书。1865年~1868 年 Klein 在 Bonn 大学就读，他跟随 Julius Plücker（1801~1868）学习。

Plücker 是个几何学者，专长是 line complex（注5），同时也做实验物理方面的研究。

十九世纪初期射影几何学者，依其是否使用坐标方法，分成综合几何学者与解析几何学者。两派学者壁垒分明，柏林大学的 J. Steiner（1796~1863）是综合几何的领导人，他鼓吹 pure geometry ，强调几何直观。而 Plücker 刚好是解析几何学者。Steiner 个性暴烈易怒，Plücker 被他压制多年 [p.156]。Steiner 终生是个副教授，无法提升为教授，因为当时柏林大学只有两个数学教授讲座的名额（Jacobi 与 Dirichlet）。

Plücker 把他在 line complex 的研究成果写成两本书，第一本书出版不久，他就去世（1968 年 5 月）。Clebsch 只好把第二本书的编辑整理委托 Klein 来完成；Klein 也必须改变博士论文的指导教授，他选择 Bonn 大学另一个数学教授 Rudolf Lipschitz (1832~1913)。高等微积分课本里面的 Lipschitz condition 就是这个 Lipschitz 。

1868 年 12 月 Klein 通过博士论文口试，他的博士论文是与 line complex 有关的 [p.161]。

博士论文口试之后，Klein 到 Gottingen 大学追随 Clebsch，工作了八个月。

1869/1870 年的冬天他到 Berlin 大学参加 Kummer，Weierstrass，Kronecker 的研讨会，并旁听一些课程。柏林大学是这时候德国数学家朝圣的殿堂。Klein 的「同学」有：Cantor（集合论的开创者），Frobenius（微分方程，有限群表示论），Killing [p.18]，Mittag-Leffler 。在这群人之间，Klein 显然不是特别突出 [p.221]。

在柏林大学 Klein 结识 Sophus Lie（1842~1899），Lie 是来自挪威的留学生，尚未取得博士学位。Klein 与 Lie 都喜欢几何，很快地他们成为好朋友。

1870 年春天 Klein 与 Lie 结伴到巴黎。这时 Camille Jordan（1838~1922）刚好完成他的巨著（《群论与代数方程》），他们适时地学会群的概念，并把它应用到几何的研究 (Klein and Lie, Comptes rendus 70 (1870), 1222-1226)。

普法战争爆发之后，Klein 立即回国并受征召到军中服役。1871 年 Klein 在 Gottingen 大学做 Habilitation ，并被 Gottingen 大学聘为讲师（Privatdozent）。1872 年他被 Erlangen 大学聘为教授。

Klein 在普法战争服役时认识一个朋友 Friedrich Althoff（1839~1908）。这个人后来在普鲁士教育部主管高等教育业务，在各大学教授调动与各大学研究单位的核准与否有最后决定权。他对于 Klein 的事业显然助益良多。

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4. 非欧几何

非欧几何的理论在十九世纪三十年代已经建立（Gauss，N. I. Lobachevsky，and János Bolyai），但是欧基里德几何的影响根深蒂固，大部分数学家很难想象存在与欧氏几何第五公设（过线外一点可作唯一的平行线）违反的几何空间。大家总是怀疑非欧几何的理论推导在什么地方出错。

1869 年 Klein 提出一个非欧平面扫除这个疑虑。



这个例子称为 Klein model，它利用欧氏几何建立一个非欧平面：如果非欧几何的理论有错误，那么欧氏几何也会有错误。Klein model 也称为 Beltrami-Klein model 或 Cayley-Klein model 。

Klein 在 1872~1875 担任 Erlangen 大学教授。他的教授就职演讲主题是数学教育的目的。不过 Erlangen 大学额外要求，除了就职演讲之外，每个新任教授还要提交一份 Programmsschrift（研究方向报告书）。Klein 主张他要利用群的概念对各种几何空间加以分类 [p.961]。这就是所谓的 Erlangen program（注6）。



Erlangen program 声称，区别各种几何空间的关键就在研究这些空间在其对称群作用之下保持不变的性质。

Erlangen 大学并没有很多学数学的学生。Klein 的前任 A. F. Mobius（1790~1868，Mobius transformations，Mobius band）是一个讲课枯燥无味的老师，自然吸引不了学生。Klein 却是一个好老师，可是他第一次上课只有两个学生，其中一个在第二次上课就不来了，另一个偶尔来几次 [p.222]。

不过 Klein 在 Erlangen 大学还是有收获。1875 年 Klein 与 16 岁的 Anna Hegel 结婚，Anna 的祖父是鼎鼎有名的哲学家 G. W. F. Hegel（1770~1831），柏林大学教授，1831 年因为霍乱去世，去世时是柏林大学校长。

1875 年 Klein 接受慕尼黑（Munich，德文写为 München）Technische Hochschule 的邀请，离开 Erlangen，到 Munich 一待就是五年（1875~1880）。这五年却是 Klein 研究生涯的高峰。

5. Klein 在慕尼黑

慕尼黑的 Technische Hochschule 并不是慕尼黑大学，它只是一所高级工专，可是 Klein 在这所工专讲授的（理论）数学的课程却吸引外校一些资质很高的学生，如：A. Hurwitz（1859~1919）是慕尼黑大学与柏林大学的学生，W. von Dyck（1856~1934）是柏林大学的博士，在慕尼黑大学工作。Klein 在 1880 获聘为 Leipzig 大学教授，他们都跟着到 Leipzig，Hurwitz 在 Klein 的指导之下完成博士论文，von Dyck 成为 Klein 的助手。

比较特别的是意大利学生 G. Ricci-Curbastro（1853~1925），日后他以 Ricci curvature 闻名。Ricci-Curbastro 原来在意大利学习，1877~1878 年他得到意大利政府的奖学金到德国留学。他没有受到 Klein 太大的影响，他只是喜欢 Klein 教书的方式与内容，影响他较大的是 Riemann，Christoffel（Strassboug 大学）与 Lipschitz（见本文第 3 节）。

Klein 在 1876 年获聘担任 Math. Annalen 的编辑，后来成为主编，他努力寻求非欧几何、函数论、群论、集合论的稿件，使 Math. Annalen 的声望与受欢迎的程度直追柏林大学掌控的 Crelle's Journal 。

Klein 在慕尼黑 Technische Hochschule 有一个同事 A. Brill（见本文第 2 节）是当年 Clebsch 的追随者之一，他与 Klein 建立一个实验室，制造三度空间一些曲面的模型，营销到世界各地的图书馆。

在 1875 年 ~ 1880 年这五年 Klein 可说是研究成果丰硕，他在 1880 年离开慕尼黑时已经累积了 70 多篇论文。

Klein 在 Erlangen 大学任教时，每门课的学生都不超过 7 人 [p.170]，可是他在慕尼黑的第一堂课（「解析几何」），大讲堂坐满超过 200 个学生。1880 年 Leipzig 大学邀请 Klein 担任教授，他当然乐得就此解除大班教学的噩梦。

Klein 在莱比锡待了 6 年（1880年~1885年），这六年并不平静。因为他在 1882 年与法国数学家 Henri Poincaré（1854~1912）竞争单值化定理（uniformization theorem）的证明，体力过度耗损，导致他从 1883 年开始除了写书（Klein-Fricke，正十二面体，）与数学教育之外，再也无法从事重大的研究课题 Klein 在莱比锡待了 6 年（1880年~1885年），这六年并不平静。因为他在 1882 年与法国数学家 Henri Poincaré（1854~1912）竞争单值化定理（uniformization theorem）的证明，体力过度耗损，导致他从 1883 年开始除了写书（Klein-Fricke，正十二面体，[p.961]，此后他就以组织者与行政管理工作者的角色出现于数学舞台。Poincaré 的生平见 [p.9]。

6.单值化定理



事后检讨 Poincaré（与 Klein）的证明是有瑕疵的 [p. xxix]。Hilbert 在 1900 年把单值化问题列为 Hilbert 第 22 问题，希望有人推广定理 1 的结果与方法 [p.165-166]。

Hilbert 第 22 题在 1907 年被 Poincaré 与 Paul Koebe（1882~1945）解决。Poincaré 论文的原稿在 1906 年寄到 Acta Math. 的编辑部，Koebe 则抢在 Poincaré 的论文出版之前宣布结果。



Fuchsian function 也叫做 automorphic function（自守函数），这个名称似乎在 Klein 的一篇论文（1890 年）第一次出现。在这之前，Klein 拒绝使用 Fuchsian function 的名称，他把这个函数叫做 Hauptkreissgruppe（principal-circle-group）。Fuchs 出身自柏林大学（见本文第 2 节），任教于 Gottingen 大学（1874~1875），Heidelborg 大学（1875~1884），柏林大学（1884~1902）。Klein 对于 Fuchs 自然有一种负面情绪（仇视？) 。

7. Fuchs 函数（Fuchsian functions）



Poincaré 想知道，除了由微分方程产生的 Fuchs 函数之外，是否还有别的 Fuchs 函数？

从 1880 年 5 月底到 6 月，Poincaré 工作了两个星期，一直没有进展。有一天晚上他违反往日的习惯，喝了一杯黑咖啡。当夜他无法入睡，各种念头（方法）如潮水一般涌来，互相激撞冲撞，直到两种方法缠绕在一起。第二天早晨，他写下一组新的 Fuchs 函数 [p.61-62]，[p.307-308]。

当时 Poincaré 在 Caen 大学任教。1880 年 6 月中旬他从 Caen 到另一个城市（Coutances），旅行使 Poincaré 暂时忘掉数学研究。当他抵达 Coutances ，准备登上公共汽车，就在他把脚踏上公交车，一个念头立即闪过来：定义新的 Fuchsian 函数的变换方法不是与非欧几何（第 6 节定义 1）的变换方法一样吗？（见 [p.62]，[p.308]）难道这又是「潜意识」再次发挥作用吗？

1880 年 6 月 12 日他写信给 Fuchs ，请他同意（Poincaré）把这些函数叫做 Fuchs 函数（第 6 节定义 3）。得到 Fuchs 的同意，他在 1880 年 6 月 19 日回信致谢，并且告诉 Fuchs 他已经找到更多的 Fuchs 函数 [p.62]。

1881 年 Poincaré 在巴黎科学院的刊物 Comptes rendus 发表三篇论文（之后还有别的），宣布他在 Fuchs 函数的研究成果。

Klein 在 1881 年 6 月 11 日看到这三篇论文，次日就写信给 Poincaré ，从此开展了两人长达 15 个月总共 26 封信的通信往来，最后一封信是 Poincaré 在 1882 年 9 月 22 日写的。

8. Klein 与 Poincaré 的通信

Klein 对于 Poincaré 宣布的定理深表惊异，对于 Poincaré 在数学文献的无知也深表惊异。

Klein 比 Poincaré 年长 5 岁，通信时 Klein 已经是名满德国的教授，Math. Annalen 的主编，Poincaré 只是法国西北部小城 Caen 的大学教师，第二年他才转到巴黎大学担任讲师。

Klein 坚决反对 Poincaré 使用 Fuchsian functions 这个名称。 他说，这种函数在 Schwarz（见本文第 2 节）或 Klein 本人的论文早就出现过，并且 Fuchs 并没有证明周期性（ F(σ·z)=F(z)，σ∈G ）。另一方面，Klein 非常惊奇 Poincaré 对于黎曼面的理论（principles of Riemann）竟然毫无所知。

Poincaré 毫不退让。他表示，如果他早一点知道 Schwarz 的论文，他可能会把它命名为 Schwarz 函数。另一方面，他是经由 Fuchs 的论文才开始研究这种函数。这样命名并无不妥。

Poincaré 在第 6 封信（1881 年 6 月 27 日）明白指出，他不能赋予这种函数 Fuchsian functions 的名字，然后再把它取消。这将置 Fuchs 于何地？

Klein 却紧咬着 Fuchsian function 这个争论不放，直到 Klein 的第 18 封信（1882 年 4 月 3 日），Klein 主动提出分道扬镳的建议：两个人分别以个人的名义发表论文。Poincaré 回答「乐于从命」，并且引用哥德（Goethe）的诗句，抒发他的感慨：

"Name ist Schall und Rauch . （A name is just noise and smoke. 《浮士德》）”

就在 Klein 这封分手的信写完之前几天，1882 年 3 月 29 日 Mittag-Leffler 写信给 Poincaré ，告诉 Poincaré ，他将创办一份新的数学杂志，Acta Mathematica ，并指名希望刊登 Poincaré 在 Fuchsian functions 的论文全文 [p.68]。Poincaré 很快地把论文的第一部分寄出，Mittag-Leffler 的回函在 1882 年 4 月 10 日寄出（注7）。

除了 Fuchsian function 的名词之争，Klein 与 Poincaré 的通信倒是很友善。Klein 很尽责地提供有关黎曼面与单值化问题的各种文献。
1881 年 12 月 4 日 Klein 邀请 Poincaré 为 Math. Annalen 撰写一篇有关 Fuchsian functions 的综合叙述性的文章（survey paper，约 16 页），这篇文章登在 Math. Annalen 19 (1882), 553-564。文章之后附有一篇 Klein 自己写的短文，说明他反对使用 Fuchsian functions 这个名称的理由。Fuchs 看到之后，也写一篇短文登在 Gottingen Nachrichten 。

1882 年 9 月，Mittag-Leffler 终于告诉 Klein，Poincaré 的论文将在 Acta Math. 的创刊号刊登（Klein 给 Poincaré 在 1882 年 9 月 19 日的信）。

Poincaré 在回信描述这篇论文的内容。它分成 5 个部分，前三个部分在 1882 年刊登，后两个部分在 1883 年刊登。第一部分是 Fuchs 群，第二部分是 Fuchs 函数，第三部分是 Klein 群与 Klein 函数（ 注8）。第四部分是单值化定理，第五部分是二阶微分方程的应用。

这些通信总共有 26 封信。Acta Math. 在 1923 年四十周年纪念时刊登全部信件，Klein 的信是德文的，Poincaré 的信是法文的。Poincaré 的孙子 Francois Poincaré 把 Klein 的德文信翻译成法文，连同 Poincaré 的法文信重刊于 Cahiers du séminaire d'histoire math.（1989年）。全部翻译成英文的信件可在 [p.385-414] 找到。

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9. Klein 的再起

1882 年 5 月中旬前后，Klein 深入地探讨单值化定理的证明。 在接下来的几个月，他在 Leipzig 大学组织一系列的演讲，由 Eduard Study（1862~1930）作记录（Study 这时只是大学部的学生，尚未取得博士学位）。这份记录，《Neue Beitrage zur Riemannschen Funktionentheorie》，在 1882 年 10 月定稿，在 11 月底寄出，赶在 Poincaré 的文章在 12 月的 Acta Math. 刊登之前（注9）[p.185]。

Klein 在写出《Neue Beitrage》时，体力与心力过分透支，很快就崩溃了 [p.186]。他无法从事正常的教学工作，也无法主持研讨会。在 Klein 文稿（The Felix Klein Protocols [p.961]）他悲叹，从 1883 年起，我的创造力完全终结了。

幸好这时来个救星，将近 70 岁的 J. J. Sylvester（1814~1897）终于被牛津大学聘任。Sylvester 于 1883 年底离开他任教的 Johns Hopkins 大学，渡海回英国 。Johns Hopkins 大学校长写信给 Klein，希望 Klein 接任。这封邀请信是莫大的鼓励，它使 Klein 逐渐回复正常生活。不过 Klein 最终还是回绝了 Johns Hopkins 大学的邀请。再过三年他就转到 Gottingen 大学。

Klein 习惯把 Riemann 关于复变函数的理论（the geometric function theory）与群論、代数几何、微分方程、非欧几何结合起来。这种新颖的观点吸引许多美国学生跟随他。

在 Leipzig 大学他只有三个美国学生：J. Stringham，F.N. Cole 与 H.B. Fine 。他到 Gottingen 大学之后，美国学生的数目大量增加。

根据统计，Klein 的学生担任美国数学会（AMS）会长的有 6 位，担任副会长的有 13 人。

1893 年世界博览会（World's Columbian Exposition）在芝加哥举办，配合博览会还举办数学家大会（Chicago Congress of Mathematicians，1893 年 8 月 21~26日）。Klein 代表德国参加博览会与数学会，会后他同意到芝加哥北方的西北大学作 12 次通俗演讲（1893 年 8 月 28 ~ 9 月 9 日），演讲内容如下：

● Clebsch.
● Sophus Lie.
● Sophus Lie.
● On the real shape of algebraic curves and surfaces.
● Theory of functions and geometry.
● On the mathematical character of space-intuition, and the relation of pure mathematics and applied mathematics.
● The transcendency of the numbers e and π.
● Ideal numbers.
● The solution of higher algebraic equations.
● On some recent advances in hyper-elliptic and abelian functions.
● The most recent researches in non-Euclidean geometry.
● The study of mathematics at Gottingen.

[19] 是这些演讲的记录，可以反映 Klein 看到的当时世界数学的主流方向。可惜 Klein 没有提到法国在微分几何和意大利在代数曲面的发展。

Klein 不喜欢当时数学日益抽象的趋势，他强调数学必须与物理、工程应用结合（注10）。1898 年 Klein 与一些学者、企业家成立 Gottingen Association for the Advancement of Applied Physics and Mathematics，他们募了一笔款项可以（在必要时）建设新的实验室与实验设备、聘请教授。他们协助推动一些单位的成立，如 Institutes of Applied Electricity，Applied Math. And Mechanics，Geophysics。聘请的教授有 H.T. Simon，C. Runge，L. Prandtl（见本文第 11 节），E. Wiechert [p.97]。

1908 年 Gottingen Association 成立十周年，Klein 宣布已经募得 200,000 马克，可以兴建一栋数学所 。当时数学教授与哲学教授同属哲学学院，因此共用一个空间。1922 年科学部门才脱离哲学学院，科学部门含数学与理论物理。

Klein 兴建数学大楼的构想因为 1914 年的世界大战而延宕，战后几年的恶性通货膨胀又使这笔款项化为乌有。Gottingen 数学大楼在 1929 年才落成，这是美国 Rockefeller 基金会提供资金，在 R. Courant 主持下完成的，那已是 Klein 去世四年后的事。

Klein 对于捐款设立新的教授席位或成立新的系所的金主采取授予荣誉学位的方法，以示谢意 [p.294]，这当然需要在教授之中做许多沟通说服的工作。

10. 数学家求学与研究的圣地

1895 年 Klein 邀请 David Hilbert（1862~1943）到 Gottingen 大学任教，这时 Hilbert 的好朋友 Hermann Minkowski（1864~1909）在 Konigsberg 担任副教授。

Konigsberg 在波罗的海东方，是东普鲁士第一大城。这地区现在已是俄国的领土，Konigsberg 也改名为 Kaliningrad（注11）。

Hilbert 与 Minkowski 在 Konigsberg 大学唸書時，Adoff Hurwitz（1859~1919）刚好是这里的副教授。Hurwitz 是 Munich 大学的学生，上过 Klein 的课，然后到柏林大学听了一年 Weierstrass 的课。大学毕业后到 Leipzig 跟 Klein 写博士论文（见本文第 5 节）。

Hurwitz，Hilbert，Minkowski 常常一起散步聊天。Hurwitz 渊博的数学知识使 Hilbert 与 Minkowski 大开眼界。

1896 年瑞士苏黎世的 ETH 苏黎世联邦理工学院（ETH Zürich）邀请 Minkowski 担任教授，早在四年前 Hilbert 与 Minkowski 的朋友 Hurwitz 已经来到 ETH (1892~1919)。1902 年柏林大学的 Fuchs 去世，柏林大学的教授希望当时在 Gottingen 的 Hilbert 能够来柏林接 Fuchs 的空缺，当时 Gottingen 大学许多师生都以为 Hilbert 抗拒不了柏林大学的诱惑 [p.189]。

Klein 与 Hilbert 不动声色，他们利用这个机会与德国教育部的 Althoft（见本文第 3 节）讨价还价，争取 Minkowski 到 Gottingen 任教的机会。

1904 年 Gottingen 大学有一个应用数学副教授的职位出缺。Klein 再度展现他的政治手腕，说服教育部的官员把副教授的空缺改成教授的空缺，这个空缺由 Carl Runge（1856~1927）接任。结果 Gottingen 大学成为当时德国最先有四个数学教授的大学：Klein，Hilbert，Minkowski，Runge 。

1895 年 ~ 1933 年可以说是 Gottingen 大学的黄金年代，其中虽然 1914~1922 年略有停顿（学生与年轻教师因为第一次世界大战应召入伍，加上战后几年经济萧条），但是 Gottingen 大学变成数学圣地的声名却是不争的事实。

以前一个时期（1895~1914）而论，Hilbert 的数论报告（Zahlbericht，1897年），他在巴黎国际数学家会议（ICM Paris，1900 年）提出的 23 个问题，Hilbert 在积分方程的理论，都是许多人争相学习的文献。

这个时期在 Gottingen 大学书，写博士论文，做博士后研究的，都是一时之选。

以取得博士学位的人而言，后来比较有名，Klein 的学生（除了美国留学生不计）就有：Ph. Furtwangler（1869~1940，类体论）与 L. Bieberbach（1886~1982，函数论，Hilbert 第 18 问题）。Bieberbach 是一个争议性很大的人，在纳粹时代，他是反犹的急先锋。但是在讨论数学成就时，不必把他一笔抹煞（注12）。Hilbert 的学生有名的更多。如：

● Max Dehn（1878~1952，1901 年解决 Hilbert 第 3 问题）。

● Erhard Schmidt (1876~1959, integral equations, Hilbert space)。

● Hermann Weyl（1885~1955，黎曼面、相对论、表示论、规范场论 ）。

● Alfred Haar（1885~1933，拓朴群的 Haar measure）。

● Richard Courant（1888~1972，数学物理）。

● Erich Hecke（1887~1947，解析数论）。

● Hugo Steinhaus（1887~1972，泛函分析，见 [p.12]）。

Max Born（1882~1970，诺贝尔物理奖 1954 年得主）则是 Runge 的学生（1906 年博士），实际上他受 Minkowski 的影响还更多 [p.188-189]。由于 Born，Werner Heisenberg，Pascaul Jordan 的领导，Gottingen 大学在 1925 年成为当时研究量子物理的中心 ; 另一个中心是 Niels Bohr 主持的理论物理研究所（丹麦哥本哈根）（注13）。

11.  93人宣言（Manifesto of the ninety-three）

1914 年夏天第一次世界大战爆发。战争初期德军入侵比利时（中立国），无视国际公约，引起世界各国谴责。同年 10 月 4 日德国政府公布由 93 个文化界、科学界、艺术界名人签名支持的声明，反驳敌国的造谣谎言。

签名的 93 人之中，有 14 个诺贝尔奖得主。数学家只有一人签名：Felix Klein 。Hilbert 曾被征询是否同意连署签名，但被 Hilbert 拒绝。Albert Einstein（1879~1955）也拒绝签名。

这份声明反驳六个事项，每一项都以「It is not true that 」的叙述呈现。例如，「It is not true that we trespassed in neutral Belgium」，以下接著说明何以「It is not true」。

Hilbert 逐项客观审视这六段文字，发现它们无法说服他，因此拒绝签名。

宣言公布之后，法国数学家反应最激烈。Klein 与 Hilbert 本来是巴黎科学院的外籍院士，结果 Klein 被取消院士资格，Hilbert 仍然留任院士。

战后这 93 名签名的人还有 76 人在世。据 New York Times 调查，有 60 人表达不同程度的后悔（含 Klein）。

Klein 的政治立场是保守的，支持军国主义专制政权，因此他会在 93 人宣言签名，并不令人感到意外。在另一方面，他对杰出科技人才的判断拿捏倒是十分精准。

Ludwig Prandtl（1875~1953）是 Klein 的再传弟子，他是 August Foppl 在 Munich 大学的学生（1899 年博士），Foppl 是 Klein 在 Leipzig 大学的学生（1886 年博士）。

在 ICM 1904（Heidelberg），Klein 听完 Prandtl 的演讲，大为激赏。仗着 Gottingen Association（见本文第 9 节）做后盾，Klein 邀请 Prandtl 到 Gottingen 大学任教，他承诺要让 Prandtl 担任新成立的 Institute of Applied Mechanics 的所长。

Prandtl 后来成为德国航天事业的先驱（注14）。

后记  

本文正文来不及介绍 Koebe 的生平。Paul Koebe（1882~1945）是 Schwarz 的学生（柏林大学，1905 年博士），Leipzig大学教授（1926 年）。Koebe 自视甚高，据说很不容易相处。

luyuanhong

注释

注1. 中欧的大学（含德国大学）的博士如果想在大学任教，必须提出一篇异于博士论文的论文（Habilitationsschrift），方可成为讲师（Privatdozent）。若想在某校做 Habilitation，必须得到该校教授的同意或指导。讲师视同公务员，但是不给薪。讲师微薄的收入依赖开课时学生缴交的学分费。

注2. Gottingen 大学在十九世纪中期 Riemann 死后已经不是德国最好的大学。1933 年由于纳粹的排犹措施，许多人（含非犹太人）出走，数学系与物理系大量失血。二次战后，许多新的科研中心出现，如：巴黎、普林斯顿、波士顿、剑桥（英国）、莫斯科，哥廷根已无复昔日盛况。

注3. 通常的说法把 Gauss 与 Riemann 视为德国数学家是不恰当的。Gauss 生前，Hanover 与普鲁士（或德国）是互不隶属的。Riemann 死于 1866 年 7 月 20 日，Hanover 被普鲁士并吞是 1866 年 9 月 20 日。

注4. 根据 Klein 的理解，Clebsch 处理 abelian functions 比较接近 Abel 的代数方法，与 Riemann 的 transcendental theory 距离较远 [p.3-5]。



注6. 德文的写法把 Erlangen program 写成 Erlanger program 。

十九世纪的德国大学沿袭中世纪的传统，只有神学、医学、法学、哲学四个学院。数学教授与哲学教授同属哲学学院，通常只有一个或两个数学教授。因为教授就职演讲的听众是一般的听众，只能讲一些非技术性的内容。

注7. Gosta Mittag-Leffler（1846~1927）是瑞典 Stockholm 大学教授，Acta Math. 创办人（1882 年 12 月创刊）。Leffler 是他父亲的姓，Mittag 是他母亲的姓，他小时候与外祖父母十分接近，因此加上 Mittag 的姓。

1873 年 ~ 1875 年他得到瑞典政府一笔奖学金可以到法国与德国游学。他因此认识 Hermite 与 Weierstrass 。俄国女数学家 Sonya V. Kovalevskaya（1850~1891）因为他的引荐，才得以在 Stockholm 大学任教。

注8. Klein 坚决拒绝 Kleinian groups 与 Kleinian functions 的名称。可是直到近日还有许多学者在他们的研究论文使用这个名称。

注9. 这时 Klein 的朋友 Sophus Lie（见本文第3节）刚好在巴黎访问。他从巴黎写信给 Klein，他说：「许多人都认为你的论文写得太难，不容易理解。Poincaré 说，最先他也觉得很难，现在他觉得很容易。Darboux 与 Jordan 都认为你把读者的程度设想得太高，许多地方都没有证明。」 [p.224]。

Mittag-Leffler 在 1881 年写给 Hermite（Poincaré 的老师）的一封信说：「Weierstrass 认为 Klein 不是缺乏才能，可是他的才能都是浮面的，有时简直像行走江湖的骗子 (charlatan)。Kronecker 干脆说，他就是个骗子。我相信 Kummer 的意见也是如此。」 [p.224]。

有一些英文文献对于单值化问题或 Klein-Poincaré-Fuchs 的关系采取淡化方式处理，如 [p.19]，[p.101]，[p.182-187]，[p.122-127]。

Poincaré 与 Koebe 解决 Hilbert 22 问题的时间需要澄清。根据 Mittag-Leffler Archives [p.73]{Do}，Poincaré 的文稿是 1906 年 6 月 20 日寄到 Acta Math.，这篇文章是 1907年3月19日付印，它登在Acta Math. Vol.3. Koebe 有两个证明，第一个证明是在 Gottingen 的一个会议发表（1907年5月11日），第二个证明是1907年11月发表的，他表示第二个证明是看了 Poincaré Acta Math. 的文章才想起他自己以前曾有类似的想法。

Klein 身心崩溃的时间是 1882 年 [p.461]，[p.186]。

注10. Klein与A. Sommerfeld合写一本教科书《The theory of the gyroscope》。

注11. 条顿骑士团原先据有 Konigsberg ，经过争战并吞与外交手段发展成后来的普鲁士王国。结果普鲁士王国的本土与他们发迹的东普鲁士没有领土接壤，东普鲁士变成普鲁士王国的一块飞地。

注12. Bieberbach 曾研究单值化问题（ Hilbert 第 22 问题），与 Koebe 有过纠纷 。Bieberbach 猜想是单变量函数论有名的问题。1984年为美国的 Louis de Branges（1932~）证明。

注13. Pascual Jordan 是 Born 的学生（1925 年博士）。有一类 non-associative algebras 叫做 Jordan algebras，就是以 Pascual Jordan 命名的。

A. A. Albert 与 E. Zelmanov（1994 年 Fields medal 得主）曾研究 Jordan algebras 的结构。Pascual Jordan 在 1933 年加入纳粹党 。

注14. Prandtl 有一个来自匈牙利（奥匈帝国）的学生，Theodore von Kármán（1881~1963，Gottingen 大学 1908 年博士）。

1929 年 Gottingen 大学数学所的新大楼落成。落成典礼的时候邀请两个特约演讲人，一个是 Weyl ，另一个是 von Kármán 。Weyl 与 von Kármán 都是 Gottingen 大学 1908 年的博士，他们分别是 Gottingen 大学校友在纯数学与应用数学表现最亮眼的两位。

当时 Weyl 在瑞士的 ETH 任教（1913~1930）。1930 年 Hilbert 退休，Weyl 才接受 Gottingen 大学的邀请。Von Kármán 当时在 Aachen Technische Univ. 与美国 Caltech 任教，每年他在两个大学各待半年。1930 年他才决定留在 Caltech 。

Von Kármán 的中国学生钱学森（1938 年 Caltech 博士）与郭永怀（1944 年 Caltech 博士）是中国原子弹与氢弹计划的领导。另一个学生林家翘（也是 1944 年 Caltech 博士）任教于 MIT，见 。

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---本文作者为台大数学系退休教授---