【资料】ELLIPSE pole, pole line 之十二A,22深圳一模

dodonaomikiki

\(  \Gamma:   \frac{  x^2   }{    4}   +y^2=1\)
N(1，t）乃是动点

证明： PQ恒过定点

dodonaomikiki

\begin{align*}
PROOF\\
PQ\cap   AB&=R(m,0)\\
观察四边形ABQP\\
\Longrightarrow    N（1,t）位于R之极线上\\
且R之极线:   \frac{mx}{4}&=1\\

\Longrightarrow   x&=\frac{4}{m}\\
\Longrightarrow    m&=4\\
\Longrightarrow     PQ恒过(4,0)\\
\end{align*}

dodonaomikiki

反向验证哈：
\begin{align*}

R之极线位于x&=1上面\\
Set   \qquad   \ell_{NR}:  y&=k(x-4)\\
\Longrightarrow     \frac{  x^2   }{    4}  +k^2(x^2-8x+16)&=1\\
  \frac{  x^2   }{    4}  +  k^2x^2-8k^2x+16k^2-1&=0\\




\Delta&=0\\
\Longrightarrow   64k^4-4( \frac{  1   }{    4}  +   k^2 )(16k^2-1)&=0\\
64k^4-( 1 +  4 k^2 )(16k^2-1)&=0\\
16k^2-1- 4 k^2&=0\\
12k^2&=1\\
\Longrightarrow    k&=\sqrt{    \frac{1   }{12}}\\
\Longrightarrow   x&=\frac{     8k^2}{     2(\frac{  1   }{    4}  +   k^2)   }=\frac{     8\bullet   \frac{1   }{12}    }{     2(\frac{  1   }{    4}  +   \frac{1   }{12}    }\\
&=\frac{8}{   2(3+1)}\\

&=1\\
\end{align*}