一元二至四次方程的一个解法

lingwu05

                                                                           一元二至四次方程的一个解法

设\(f(x)、g(x)\in R[x],deg(f(x))=n,deg(g(x))=m\),\(m\lt n,m,n\in N,\{x_i |f(x_i)=0,x_i\in C,i=1,2,\dots n\},\{y_j |,g(y_j)=0,y_j\in C,j=1,2,\dots m\}\),可设\(g(x)=0\)是可解的.并设\(x_i\)与\(（y_1,y_2,\dots y_m)\)有对应关系：\(x_i=\pi_i(y_1,y_2...,y_m)\)，替换到\(x_i\)的韦达公式，得到\(y_j\)的一个方程组,若方程组可解,进而可求出\(x_i\).\[\]
1.一元二次方程:\(x^2-p=0\)，
与原方程:\(x^2+bx+c=0 \)比较,一次项系数为0,此时\(p=(b^2-4c)/4\).由韦达公式:\(x_1+x_2=0,x_1x_2=-p\).设\(x_1、x_2\)
与某个一元一次方程的解y有如下关系:
\begin{array}{c|c}
x & y\\
\hline x_1 & 1\\
\hline x_2 & -1\\
\end{array}
\begin{cases}
x_1=y&(1)\\x_2=-y&(2)
\end{cases}
代入到原方程韦达公式中:
\begin{cases}
x_1+x_2=y+(-y)=0&(1)\\x_1x_2=y(-y)=-p^2&(2)
\end{cases}
于是,y^2=p,从而:y=\(\pm\sqrt p\),由对应关系,\(x_1=\sqrt p\),\(x_2=-\sqrt p\).\[\]
2.一元三次方程:\(x^3\)+\(px+m=0\),
设(\(x_1,x_2,x_3\)),与某个一元二次方程的解(\(y_1,y_2\)),有对应关系:
\begin{array}{c|c|c}
x & y_1 & y_2\\
\hline x_1 & 1 & 1\\
\hline x_2 & \theta & \theta^2\\
\hline x_3 & \theta^2 & \theta\\
\end{array}
\begin{cases}
x_1=y_1+y_2&(1)\\x_2=\theta y_1+\theta^2y_2&(2)\\x_3=\theta^2y_1+\theta y_2&(3)
\end{cases}
替换到到韦达公式中,计算可得:
\begin{cases}
x_1+x_2+x_3=(1+\theta+\theta^2)y_1+(1+\theta^2+\theta)y_2=0&(1)\\x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=y_1y_2=-p/3&(2)\\x_1x_2x_3=y_1^3+y_2^3=-m&(3)
\end{cases}
复数\(\theta^3=1\).第(2)式取立方:\(y_1^3y_2^3=(-p/3)^3\),可与第(3)式组成一元二次方程,解这个一元二次方程,按对应关系表,进而得到(\(x_1,x_2,x_3\)).\[\]
3.一元四次方程:\(x^4+px^2+mx+r=0\),
设(\(x_1,x_2,x_3,x_4\)),与某个一元三次方程的三个解(\(y_1,y_2,y_3\)),有对应关系:
\begin{array}{c|c|c|c}
x & y_1 & y_2 & y_3\\
\hline x_1 & 1 & 1 & 1\\
\hline x_2 & \zeta & -1 & -\zeta\\
\hline x_3 & -1 & 1 & -1\\
\hline x_4 & -\zeta & -1 & \zeta\\
\end{array}
\begin{cases}
x_1=y_1+y_2+y_3&(1)\\x_2=\zeta y_1-y_2-\zeta y_3&(2)\\x_3=-y_1+y_2-y_3&(3)\\x_4=-\zeta y_1-y_2+\zeta y_3&(4)
\end{cases}
复数\(\zeta^2=\sqrt{-1}\).代入到韦达公式,计算可得:
\begin{cases}
x_1+x_2+x_3+x_4=(1+\zeta-1-\zeta)y_1+(1-1+1-1)y_2+(1-\zeta-1+\zeta)y_3=0&(1)\\x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=y_1y_3=-p/4&(2)\\x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=y_1^2y_2+y_2y_3^2=-m/4&(3)\\x_1x_2x_3x_4=-y_1^4+y_2^4-y_3^4+2y_1^2y_3^2-4y_1y_2^2y_3=r&(4)
\end{cases}
整理后得:
\(y_2^6+py_2^4+(p^2/4-r)y_2^2-m^2/16=0\)\[\]
这个是关于\(y_2^2\)的一元三次方程,处理比较麻烦,看另外一个对应关系:
\begin{array}{c|c|c|c}
x & y_1 & y_2 & y_3\\
\hline x_1 & 1 & 1 & 1\\
\hline x_2 & -1 & -1 & 1\\
\hline x_3 & -1 & 1 & -1\\
\hline x_4 & 1 & -1 & -1\\
\end{array}
\begin{cases}
x_1=y_1+y_2+y_3&(1)\\x_2=-y_1-y_2+y_3&(2)\\x_3=-y_1+y_2-y_3&(3)\\x_4=y_1-y_2-y_3&(4)
\end{cases}
代入到韦达公式,计算可得:
\begin{cases}
x_1+x_2+x_3+x_4=(1-1-1+1)y_1+(1-1+1-1)y_2+(1+1-1-1)y_3=0&(1)\\x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=y_1^2+y_2^2+y_3^2=-p/2&(2)\\x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=y_1y_2y_3=-m/8&(3)\\x_1x_2x_3x_4=y_1^4+y_2^4+y_3^4-2(y_1^2y_2^2+y_1^2y_3^2+y_2^2y_3^2)=r&(4)
\end{cases}
整理后得到方程组:
\begin{cases}
y_1^2+y_2^2+y_3^2=-p/2&(1)\\y_1^2y_2^2+y_1^2y_3^2+y_2^2y_3^2=(p^2-4r)/16&(2)\\y_1^2y_2^2y_3^2=m^2/64&(3)
\end{cases}
可以组成一个一元三次方程,得到(\(y_1,y_2,y_3\)),按对应关系表可以得出(\(x_1,x_2,x_3,x_4\)).\[\]
4.一些特定方程的解的对应关系表
经过上面方程之间解的对应关系表可以看出,通过对应关系表可以直观地看出方程之间的解的对应关系.\[\]
例1:
\begin{array}{c|c}
x & y\\
\hline x_1 & 1\\
\hline x_2 & \omega\\
\hline x_3 & \omega^2\\
\hline x_4 & \omega^3\\
\hline x_5 & \omega^4\\
\end{array}
复数\(\omega^5=1\).对应的方程是:\(x^5-p=0\),此时方程的4次项系数、3次项系数、2次项系数、1次项系数均为0,而\(y^5=p\).\[\]
例2:
\begin{array}{c|c}
x & y\\
\hline x_1 & 1\\
\hline x_2 & i\\
\hline x_3 & -1\\
\hline x_4 & -i\\
\hline x_5 & 1\\
\end{array}
对应的方程是:\((x-a)(x^4-b)=0\).此时方程的4次项系数是a,2、3次项系数是0,4次项系数是b,常数项是ab.\[\]
例3:
\begin{array}{c|c}
x & y\\
\hline x_1 & 1\\
\hline x_2 & -1\\
\hline x_3 & 1\\
\hline x_4 & \theta\\
\hline x_5 & \theta^2\\
\end{array}
对应的方程是:\((x^2-a)(x^3-b)=0\).\[\]
例4:
\begin{array}{c|c|c}
x & y_1 & y_2\\
\hline x_1 & 1 & 1\\
\hline x_2 & \omega & \omega^4\\
\hline x_3 & \omega^2 & \omega^3\\
\hline x_4 & \omega^3 & \omega^2\\
\hline x_5 & \omega^4 & \omega\\
\end{array}
对应的方程是:\(x^5\)+\(px^3+(p^2/5)x+s=0\).与方程:\(x^5\)+\(px^3+mx^2+rx+s=0\)相比,要求\(m=p^2-5r=0\),此时:
\begin{cases}
y_1y_2=-p/5&(1)\\y_1^2y_2^2=p^2/5&(2)\\y_1^5+y_2^5=-s&(3)
\end{cases}
第(1)式,取5次方:\(y_1^5y_2^5=(-p/5)^5\),与第(3)式可组成一个一元二次方程,解出(\(y_1^5,y_2^5\)),开5次方得到(\(y_1,y_2\)),
按关系表分别得到(\(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\)).\[\]
例5:
\begin{array}{c|c|c}
x & y_1 & y_2\\
\hline x_1 & 1 & 1\\
\hline x_2 & -1 & -1\\
\hline x_3 & 1 & 1\\
\hline x_4 & \theta & \theta^2\\
\hline x_5 & \theta^2 & \theta\\
\end{array}
对应的方程是一个一元二次方程与一元三次方程之积.计算得到:
\begin{cases}
y_1^2+y_2^2+5y_1y_2=-p&(1)\\y_1^3+y_2^3=-m&(2)\\y_1^3y_2+2y_1^2y_2^2+y_1y_2^3=r/3&(3)\\y_1^5+y_2^5+2(y_1^4y_2+y_1y_2^4)+y_1^3y_2^2+y_1^2y_2^3=s&(4)
\end{cases}
(1)式和(3)式,可解出\(y_1y_2\),与(2)式组合可得(\(y_1,y_2\)),按关系表可得(\(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\)).\[\]
缺陷,某些方程不可从对应关系表表出,找不到适当的与较低次方程的对应关系,有时会得到一些莫名奇妙的结果.比如:
\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & y_1 & y_2 & y_3 & y_4\\
\hline x_1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
\hline x_2 & \omega & \omega^2 & \omega^3 & \omega^4\\
\hline x_3 & \omega^2 & \omega^4 & \omega & \omega^3\\
\hline x_4 & \omega^3 & \omega & \omega^4 & \omega^2\\
\hline x_5 & \omega^4 & \omega^3 & \omega^2 & \omega\\
\end{array}
得到方程组:
\begin{cases}
y_1y_4+y_2y_3=-p/5&(1)\\y_1^2y_3+y_1y_2^2+y_3^2y_4+y_2y_4^2=-m/5&(2)\\y_1^3y_2+y_2^3y_4+y_1y_3^3+y_3y_4^3-(y_1^2y_4^2+y_2^2y_3^2)+y_1y_2y_3y_4=-r/5&(3)\\y_1^5+y_2^5+y_3^5+y_4^5-5(y_1^3y_3y_4+y_1y_2^3y_3+y_2y_3^3y_4+y_1y_2y_4^3)+5(y_1^2y_2^2y_4&
\\+y_1^2y_2y_3^2+y_2^2y_3y_4^2+y_1y_3^2y_4^2)=-s&(4)\\
\end{cases}
不可解.
菜鸟发贴，不妥之处，敬请老师们多多批评指正

天山草

请楼主用你的方法解方程： x^3 - 3 x + 1 = 0，能不能得到三个准确的根？

lingwu05

天山草 发表于 2023-7-7 10:20
请楼主用你的方法解方程： x^3 - 3 x + 1 = 0，能不能得到三个准确的根？

\(y_1^3y_2^3)=-(-3)^3/27=1,y_1^3+y_2^3=-1\),(-1)^2-4*1=-3，一元二次方程有一对共轭复数根，分别对这两个根开立方，可以用复数三角形式计算得到\(y_1，y_2)\，至于三个根，(1)至(3)式已经给出。需要说明一下，方法得出的一元三次方程求根公式与现行简式（二次项系数为0）求根公式是一模一样的，不同的只是解法。

lingwu05

本来想上传一下得到的求根公式，可是求根代码里面有一个"q"，可能是个“热键”，导致无法正常显示，只好在发贴时删除此段。三次方程中的常数项本来是“q”，也是冲突的，不得不换成“m”………实在抱歉了

天山草

求出数字解答没啥意思，能求出准确的公式解才行！

lingwu05

天山草 发表于 2023-7-7 13:23
求出数字解答没啥意思，能求出准确的公式解才行！

\(y_1^3+y_2^3=-1;y_1^3y_2^3=1\),对应的一元二次方程是\(z^2+z+1=0\),应该很明显了，两个根是1的3次方单位根及其二次方，是一对共轭复数；再分别开立方。对应关系表下面的(1)至(3)式已经给定了\(x_1,x_2,x_3\)关于\(y_1,y_2\)的等式，可以分别计算三个方程的根。至于求根公式，塔塔利亚（丰塔纳）、卡尔丹等前辈、大师们已经给出，此解法得到的一元三次方程求根公式与现在已经通行的一元三次方程求根公式没有任何差别，也就没必要发出来了，重要的是还有这么一个求解方程的方法，兴许对寻找、确定某些特定的高次方程可解，有所帮助

lingwu05

天山草 发表于 2023-7-7 13:23
求出数字解答没啥意思，能求出准确的公式解才行！

方程\(x^3-3x+1=0\)，先计算:\(y_1^3+y_2^3=-1;y_1^3y_2^3=1\),于是:
\(y_1^3=\theta;y_2^3=\theta^2,复数\theta^3=1\),用复数指数形式:\(y_1^3=e^{i2\pi/3};y_2^3=e^{-i2\pi/3}\),可求得：
\(y_1=e^{i2\pi/9};y_2=e^{-i2\pi/9}\).按设定好的对应关系：\(x_1=y_1+y_2;x_2=\theta y_1+\theta^2 y_2;x_3=\theta^2 y_1+\theta y_2\).于是:
\begin{cases}
x_1=e^{i2\pi/9}+e^{-i2\pi/9}=2\cos (2\pi/9)=2\sin (\pi/2-2\pi/9)=2\sin (5\pi/18)&(1)\\x_2=e^{i2\pi/9+i2\pi/3}+e^{-i2\pi/9-i2\pi/3}=e^{i8\pi/9}+e^{-i8\pi/9}=2\cos (8\pi/9)=-2\cos (\pi/9)&(2)\\x_3=e^{i2\pi/3-i2\pi/9}+e^{i2\pi/9-i2\pi/3}=e^{i4\pi/9}+e^{-i4\pi/9}=2\cos (4\pi/9)&(3)\\
\end{cases}
天山草老师看一下是不是这三个根了