【资料】妥园魅力SHOW之一， 成都2024

dodonaomikiki

请看题目，
欢迎喜欢解答椭圆的同学参与进来！
玩着玩着，可能很好玩吧！

dodonaomikiki

LOGO来一哈

dodonaomikiki

\begin{align*}

\Gamma:   \frac{  x^2   }{   4}   +  \frac{  y^2   }{   3}   &=1\\
Set:   x &=ky-1\\
And,   \begin{cases}           x=ky-1           \\        \frac{  x^2   }{   4}   +  \frac{  y^2   }{   3}   & =1            \end{cases}\\

\Longrightarrow  \frac{  (ky-1)^2   }{   4}   +  \frac{  y^2   }{   3}   &=1\\
3(k^2 y^2 -2ky+1)+4y^2 -12 &=0\\
(3k^2+4) y^2 -6ky+1) -9 &=0\\
\Longrightarrow   \Delta &=36k^2 -4(-9)(3k^2 +4)\\
&=36k^2+108k^2+36   \bullet   4\\
&=144k^2+144\\
&=144(1+k^2 )  \succ  0\\


And     \begin{cases}        y1+y2 =\frac{   6k}{   3k^2+4 }           \\    y1y2=   \frac{   -9}{   3k^2+4 }            \end{cases}\\

\Longrightarrow   \begin{cases}     \frac{   y1+y2}{2}=\frac{   3k}{   3k^2+4 }           \\    \frac{x1+x2  }{2}=
  \frac{   ky1-1+ky2-1}{   2 }          =\frac{k}{2}(   y1+y2   ) -1=\frac{   3k  ^2 -3k ^2 -4}{   3k^2+4 }   =\frac{   -4}{   3k^2+4 }    \end{cases}\\








\end{align*}

dodonaomikiki

\begin{align*}

\Longrightarrow      M(\frac{   -4}{   3k^2+4 } ,   \frac{   3k}{   3k^2+4 }    ) \\
Cauz  \qquad      \overrightarrow  {ON}&=\lambda  \bullet    \overrightarrow  { OM}\\
\Longrightarrow    N(\frac{   -4\lambda   }{   3k^2+4 } ,   \frac{   3k \lambda   }{   3k^2+4 }    )\\


  \Longrightarrow\\
\frac{   16\lambda ^2  }{   (3k^2+4 ）^2    \bullet    4  } +   \frac{   9k^2  \lambda ^2  }{   (3k^2+4)^2    \bullet    3 }    &=1\\
4 \lambda ^2  +3k^2\lambda ^2 &= (3k^2+4 ）^2  \\
\lambda ^2&  =3k^2+4   \\


And,   Area(AOB)&=\frac{OF}{2} \bullet       \Bigg|    y1-y2   \Bigg|     \\
&=\frac{OF}{2} \bullet    \sqrt{  (  y1+y2)^2  -4y1y2}\\
&=\frac{  \sqrt{  (6k)^2+4  \bullet  9            }        }{2  (3k^2+4    )}\\
&=\frac{ 6 \sqrt{  k^2+1       }        }{2  (3k^2+4    )}\\
&=\frac{ 3 \sqrt{  k^2+1       }        }{3k^2+4  }\\









\end{align*}

dodonaomikiki

\begin{align*}


Cauz  \qquad      \overrightarrow  {ON}&=\lambda  \bullet    \overrightarrow  { OM}\\
\Longrightarrow    Area(AOBN)\\
&=\lambda  S_{\blacktriangle  AOB}=\frac{ 3 \lambda   \sqrt{  k^2+1       }        }{3k^2+4  }=\frac{ 3   \sqrt{  k^2+1       }        }{ \lambda }   \\
&=\frac{3  }{  \lambda  } \bullet   \sqrt{\frac{  3k^2+4-1    }{3}       } \\
&=\frac{3  }{  \lambda  } \bullet   \sqrt{\frac{   \lambda    ^2-1    }{3}       } \\
&=\sqrt{3} \bullet    \sqrt{1-   \frac{1  }{ \lambda    ^2   }}\\



Cauz  \qquad    \lambda    ^2&=3k^2+4 \succeq   4   (Cauz   \qquad   k  \ne  0)\\

\Longrightarrow     Area(AOBN)\\
\succeq    \sqrt{3}   \bullet   \sqrt{1-   \frac{1}{4}}&=\sqrt{3  \bullet   \frac{3}{4}  }= \frac{3}{2}\\
\Longrightarrow    When   \qquad    \lambda&=2,  Area(AOBN)_{min}= \frac{3}{2}\\






\end{align*}

dodonaomikiki

椭圆内部，施以【粉【】黛】，
就更加明显的可以看出，
三角形，在其内部占比的大小