同余理论在算法优化中的魅力

蔡家雄

设 p=210m+89 是素数，且 m <= 10^10，

求 十生素数（ p, p+407550360, p+407550368, p+407550372, p+407550374,

p+407550378, p+407550380, p+407550384, p+407550392, 2p+356606581 ）都是素数，

找到解: m = 29579064
             p = 6211603529
             p 是素数: True
             p + 0 = 6211603529, 素数: True
             p + 407550360 = 6619153889, 素数: True
             p + 407550368 = 6619153897, 素数: True
             p + 407550372 = 6619153901, 素数: True
             p + 407550374 = 6619153903, 素数: True
             p + 407550378 = 6619153907, 素数: True
             p + 407550380 = 6619153909, 素数: True
             p + 407550384 = 6619153913, 素数: True
             p + 407550392 = 6619153921, 素数: True
             2p + 356606581 = 12779813639, 素数: True


同邻距的九生素数（十八元素数组），

且前一组九生素数之和是后一组九生素数的首项，

前一组（ 50943795±2，50943795±4，50943795±8，50943795±16，是中心对称 8生连续素数，p = 6211603529 ）

后一组（ 6619153905±2，6619153905±4，6619153905±8，6619153905±16，是中心对称 8生连续素数，q=12779813639 ）

前一组（ 50943779, 50943787, 50943791, 50943793, 50943797, 50943799, 50943803, 50943811, 6211603529 ）

后一组（ 6619153889, 6619153897, 6619153901, 6619153903, 6619153907, 6619153909, 6619153913, 6619153921, 12779813639 ）




设 a=31385539, d=420420, s=12a+12d*11/2=404374188，

且 a+d*11=31385539+420420*11=36010159 < p，

求 十四生素数（ p, p+s, p+s+d*1, p+s+d*2, p+s+d*3, p+s+d*4, p+s+d*5,

p+s+d*6, p+s+d*7, p+s+d*8, p+s+d*9, p+s+d*10, p+s+d*11, 2p+s -a ）都是素数。

根据 p+s=p+404374188,  p 的个位数字 不是 7，

根据 2p+s -a=2p+372988649,  p 的个位数字 不是 3，



| 长度       | 首项                | 公差             | 末项                |
| -------- | ----------------- | -------------- | ----------------- |
| AP10     | 199               | 210            | 2,089             |
| AP11     | 110,437           | 13,860         | 249,037           |
| AP12     | 110,437           | 13,860         | 262,897           |
| AP13     | 4,943             | 60,060         | 725,663           |
| AP14     | 31,385,539        | 420,420        | 36,850,999        |
| AP15     | 115,453,391       | 4,144,140      | 173,471,351       |
| AP16     | 53,297,929        | 9,699,690      | 198,793,279       |
| **AP17** | **3,430,751,869** | **87,297,210** | **4,827,507,229** |
| AP18     | 4,808,316,343     | 717,777,060    | 17,010,526,363    |
| AP19     | 8,297,644,387     | 4,180,566,390  | 83,547,839,407    |

蔡家雄

求 4/409=1/104+1/y+1/z 的正整数解，

找到 5 个有序解，

y = 6084,  z = 4976712.

y = 6135,  z = 638040.

y = 6136,  z = 627406.

y = 6544,  z = 85072.

y = 9816,  z = 15951.

蔡家雄

求 4/(8n+1)=1/(2n+t)+1/y+1/z 的新 t 法，

设 w^2=((8n+1)(2n+t))^2=t1* t2,  ( t1< t2 ),

设 w ≡ r  ( mod  4t -1 ),

且 t1 ≡  t2 ≡  4t -1 -r  ( mod  4t -1 ).

则 x=2n+t,  y=(w+t1)/(4t -1),  z=(w+t2)/(4t -1) .

这是一个完全构造性、无例外、可程序化的新 t 法。

蔡家雄

求 4/409=1/104+1/y+1/z 的新 t 法，

分解：(409*104)^2=409^2*2^6*13^2,

设 409 ≡ 3  (mod 7 ),

求 (2*3*13)^2 的因子对 t1 ≡ t2 ≡ 3  (mod 7 ),

t3:   3 ≡ 3 =3  (mod 7 )
t7:   3 ≡ 24 =2^3*3  (mod 7 )
t1:   3 ≡ 52 =2^2*13  (mod 7 )
t9:   3 ≡ 192 =2^6*3  (mod 7 )
t6:   3 ≡ 416 =2^5*13  (mod 7 )
t5:   3 ≡ 234 =2*3^2*13  (mod 7 )
t10: 3 ≡ 507 =3*13^2  (mod 7 )
t2:   3 ≡ 1872 =2^4*3^2*13  (mod 7 )
t8:   3 ≡ 4056 =2^3*3*13^2  (mod 7 )
t4:   3 ≡ 32448 =2^6*3*13^2  (mod 7 )

以上式子中，把因子 3 改为 409，

就是求得 (409*104)^2 的因子对 t1 ≡ t2 ≡ 3  (mod 7 ).

设 t1< t2,  t1* t2= w^2= (409*104)^2,

则 x=102+2,  y=(w+t1)/(4*2 -1),  z=(w+t2)/(4*2 -1) .

蔡家雄

设 120d+49 是质数，

求 4/(120d+49)=1/(30d+16)+1/y+1/z 的特殊解的增乘法，

设 w=(120d+49)*(30d+16) ≡ 4  (mod 15 ),

求 (30d+16)^2=t1* t2,  ( t1< t2 ),

且 t1 ≡ t2 ≡ 11  (mod 15 ),

则 x=30d+16,  y=(w+t2)/15,  z=(w+t1*(120d+49)^2)/15.

蔡氏增乘法质数：120d+49=769,  1129,  1609, 2689,  3769,  4129,  4969,  7369,  7489,  8329,  8929,  9049,  ......