已知 A(-3,0),B(9,0)，C,D 在以 O 为圆心、半径 4,2 的圆周上，求 ABCD 面积的最大值

Ysu2008

ataorj 发表于 2025-2-10 15:59
太简单了，不值得

那你还不如不说，简直是浪费网纸。

波斯猫猫

思路：令∠BOC=α，∠COD=β，则四边ABCD的面积

S=18sinα+4sinβ+3sin(α+β).

∴  S′α =18cosα+3cos(α+β)，S′β=4cosβ+3cos(α+β).

由18cosα+3cos(α+β)=4cosβ+3cos(α+β)=0解得

cosα=1/8，sinα=3√7/8，cosβ=9/16，sinβ=5√7/16，

且仅当这时S取到最大值(省略了求解过程).

∴ Smax=18×3√7/8+4×5√7/16+3(3√7/8×9/16+1/8×5√7/16)
           
            =27√7/4+5√7/4+3√7/4=35√7/4.

(楼主称：此题，学霸用不等式，非学霸用微积分，还有没有第三条路？
学霸用不等式，当真！？)

Ysu2008

1号学霸的解


2号学霸的解


3号学霸的解

luyuanhong

Ysu2008

陆老师和波斯猫猫都是学霸。

天山草

14# 楼陆教授的帖子中，也可以用 mathematica 计算软件求出 α 和 β 的角度值。
使用指令为  Simplify@Reduce[3 Cos[α]+ 4 Cos[α+β] == 0 && 18 Cos[β] + 4 Cos[α +β] == 0 &&  0≤α≤π/2 &&  0≤β≤π/2]，
结果为  \(α = 2 ArcTan[\frac{1}{\sqrt{7}}]\) 和  \(β = 2 ArcTan[\frac{\sqrt{7}}{3}]\)。
角度值和最大值计算代码为：

1. Clear["Global`*"]; Simplify@
   
2. Reduce[3 Cos[\[Alpha]] + 4 Cos[\[Alpha] + \[Beta]] == 0 &&
   
3.    18 Cos[\[Beta]] + 4 Cos[\[Alpha] + \[Beta]] == 0 &&
   
4.    0 \[LessSlantEqual] \[Alpha] \[LessSlantEqual] \[Pi]/2 &&
   
5.    0 \[LessSlantEqual] \[Beta] \[LessSlantEqual] \[Pi]/2]
   
6. \[Alpha] = 2 ArcTan[1/Sqrt[7]]; \[Beta] = 2 ArcTan[Sqrt[7]/3];
   
7. Simplify[3 Sin[\[Alpha]] + 18 Sin[\[Beta]] +
   
8.   4 Sin[\[Alpha] + \[Beta]]]

复制代码

计算结果为：
两个角度分别为 \(α = 2 ArcTan[\frac{1}{\sqrt{7}}]\) 和  \(β = 2 ArcTan[\frac{\sqrt{7}}{3}]\)。
最大值为 \(\frac{35\sqrt{7}}{4}\)。

还可以由 14# 楼推出的面积表达式直接用 mathematica 算出面积的最大值。所用代码为：

1. Simplify@Maximize[{3 Sin[\[Alpha]] + 18 Sin[\[Beta]] +
   
2.     4 Sin[\[Alpha] + \[Beta]],
   
3.    0 \[LessSlantEqual] \[Alpha] \[LessSlantEqual] \[Pi]/2,
   
4.    0 \[LessSlantEqual] \[Beta] \[LessSlantEqual] \[Pi]/
   
5.     2}, {\[Alpha], \[Beta]}]

复制代码

计算结果同上，不但给出了最大值，还同时给出了达到最大值时的角度值。