已知 a＞0 ，b＞0 ，a+b=5 ，求 √(a+1)+√(b+3) 的最大值

天山草

已知 \(a>0\)，\(b>0\)，\(a+b=5\)，求 \(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}\) 的最大值。

Ysu2008

将 \(b=5-a\) 代入原式得 \(\sqrt{a+1}+\sqrt{8-a}\)
由均值不等式得  \(\sqrt{a+1}+\sqrt{8-a}\le2\sqrt{\frac{a+1+8-a}{2}}=3\sqrt{2}\)
当 \(\sqrt{a+1}=\sqrt{8-a}\Rightarrow\begin{cases}
a=\frac{7}{2}\\
b=\frac{3}{2}
\end{cases}\) 时，上式等号成立, 原式取得最大值 \(3\sqrt{2}\) .

ataorj

m>0,n>0,
(m-n)^2>=0
mm+nn>=2mn
2(mm+nn)>=(m+n)^2
m+n<=(2[mm+nn])^0.5

天山草

此题来源于抖音，其做法如下：
设 \(m=\sqrt{a+1}\)， \(n=\sqrt{b+3}\)，则  \(m^2+n^2=a+1+b+3=9\)，
由于 \(m^2+n^2≥2 m n\)，两边加上 \(m^2+n^2\) 得  \(2(m^2+n^2)≥ (m+n)^2\)，即  \(18≥ (m+n)^2\)，
所以   \( m+n≤\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)，即  \( \sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}≤3\sqrt{2}\)。

波斯猫猫

题：a>0,b>0,a+b=5, 求 √(a+1)+√(b+3) 的最大值。
解:  ∵ [√(a+1)+√(b+3)]^2
         =[√(a+1)+√(8-a)]^2
         =9+2√[-(a-7/2)^2+81/4]≤18
     ∴  仅当a=7/2，b=3/2时，[√(a+1)+√(b+3)]max=3√2.
   

Treenewbee

\[\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}≤\sqrt{(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3})^2+(\sqrt{a+1}-\sqrt{b+3})^2}=\sqrt{2(a+1+b+3)}=3\sqrt2\]

luyuanhong

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