110 年前的这天，爱因斯坦的广义相对论大厦终于竣工

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110 年前的这天，爱因斯坦的广义相对论大厦终于竣工


阿尔伯特·爱因斯坦，费迪南德·施穆策摄于 1921 年。图源：维基百科

导读：

爱因斯坦创立广义相对论的关键时期，他的婚姻和家庭破裂了，战火肆虐欧洲，与最卓越的数学家展开竞争。当最终抵达目的地，他感到无比的快乐。

瞿立建｜撰文

110 年前。1915 年的 11 月 25 日，爱因斯坦在德国柏林普鲁士科学院做学术报告，四场系列报告的最后一场。那天，爱因斯坦正式给出了引力场方程。

其意义正如报告的最后一句所言：

因此，广义相对论这一逻辑大厦终于竣工[1]。

此时距离 1907 年开工，已经过去了八年。

1907 年：等效原理

爱因斯坦在他的“奇迹年”1905 年之后，1906 年[2]和 1907 年[3]，继续保持着每年 5 篇论文的高产出。但没有收到一家学术机构的任职邀请，仍然要到专利局打卡上班。

爱因斯坦决定主动出击。1907 年 6 月 17 日[4]，爱因斯坦向伯尔尼州教育局提交了理论物理无薪讲师（Privatdozent）任教资格申请材料。爱因斯坦的申请材料有：申请书、简历、已经发表的 17 篇论文。按惯例，申请者还应该提交一篇教职论文（Habilitationsschrift）。爱因斯坦没有写教职论文，寄望于其已发表的成果足以证明其学术能力而豁免这一要求。

9 月，《放射性与电子学年刊》（德语刊名：Jahrbuch der Radioaktivitat und Elektronik）的编辑、物理学家约翰内斯·斯塔克（Johannes Stark）邀请爱因斯坦写一篇相对论的综述文章[5]。

10 月 28 日，伯尔尼大学教授委员会对审查爱因斯坦的教资申请材料做出裁定，驳回申请，补充教职论文后，再予受理。[6]


爱因斯坦的教职资格申请被驳回的文件

爱因斯坦对这一官僚做法感到无语，但他暂时没有时间写教职论文，他要赶着完成《放射性与电子学年刊》的约稿[6]。

爱因斯坦需要在这篇文章中讨论他建立的相对论有两个严重的限制条件：

1. 只适用于匀速运动的物体

2. 没有把万有引力包含在内

11 月的一天，爱因斯坦坐在办公室里“摸鱼”，大脑在思考他的综述文章，突然冒出一个想法：

人在自由下落时是感觉不到自己重量的。

这个想法引导爱因斯坦建立了新的引力理论。他后来把这个想法称为平生最幸福的思想。

爱因斯坦很快将这个想法细化为一个理想实验——爱因斯坦电梯。

设想星际空间中有一电梯，缆绳拉着电梯正在匀加速上升，加速度的大小恰好等于地球表面处的重力加速度 g 。电梯中有一个实验物理学家和各种实验器材。这个实验物理学家可以做任意物理实验，他会发现所有实验的结果都与地球上一样。比如做抛体实验，物体轨迹将是抛物线，与地球上完全一样。


等效原理示意图

爱因斯坦洞察到，不可能通过实验确定一个参考系是静止在引力场中，还是在无引力场的空间加速运动。也就是说，引力和加速运动带来的物理效应是完全一样的。爱因斯坦将此结论称为“等效原理”。爱因斯坦认为，引力和加速度必定是同一现象的不同表现形式，有可能引入某种场同时解释加速度和引力。

爱因斯坦的约稿文章于 12 月 4 日发表（Jahrbuch der Radioaktivitat und Elektronik, 1907, 4, 411–462, 1907），全文超过 50 页，其中第五部分阐释了等效原理，这是建立广义相对论的起点[5]。


爱因斯坦 1907 年的相对论综述文章首页，提出了等效原理，这是建立广义相对论的起点。

1908 年 — 1911 年：攀爬学术阶梯

爱因斯坦完成了这篇长文，是不是该处理大学教职的问题了？

这时，爱因斯坦反而对大学教职不感兴趣了，他想去中学或中专工作，以便能在更宽松的条件下继续自己的科学工作。他投了求职申请，以为自己去中等学校手拿把掐，结果经常连面试机会都没有。[7]

爱因斯坦不得不重新考虑教职问题。他按伯尔尼大学的要求，写了一篇教职论文。

1908 年 2 月 28 日，爱因斯坦获得了教学许可（Venia docendi），成为无薪讲师。[6]


1908 年 2 月 28 日，爱因斯坦获得了教学许可（Venia docendi）。


阿尔弗雷德·克莱纳（Alfred Kleiner ，1849 年 4 月 24 日 — 1916 年 7 月 3 日），苏黎世大学实验物理学教授，爱因斯坦的博士导师。

1909 年 5 月 7 日，爱因斯坦在其博士导师阿尔弗雷德·克莱纳运作下，被苏黎世大学聘为副教授。

爱因斯坦在苏黎世的生活很愉快，但他还是要走了。一个原因是收入不高。爱因斯坦幽默地说：“在相对论里，我在宇宙空间每个点都设置一个时钟，而现实生活中，我连在自己房间添置一个时钟都很难。”另一个原因是，他觉得行政事务和教学任务给他带来很多麻烦，尤其是教学，让他头疼。[8]

1910 年 3 月，奥匈帝国布拉格的德语查理-费迪南德大学（Deutsche Karl-Ferdinands-Universitat ，今布拉格查理大学）邀请爱因斯坦担任正教授，薪水翻倍，且没有教学任务。1911 年 1 月，爱因斯坦获得了正式任命。爱因斯坦终于有了正教授的头衔和丰盈的收入。

这几年，爱因斯坦忙着跳槽，但并没有中断研究工作，只不过转向量子理论。

到了布拉格，爱因斯坦将注意力再度转回引力理论，此时距离他“最幸福的想法”已经过了 4 年。

1911 年：光线弯曲

1911 年，爱因斯坦洞察到，从等效原理可推导出一个新奇的现象：

引力可使光线弯曲。

这一点很容易用一个思想实验来说明。

想象一部向上加速运动的密闭电梯。电梯内的实验物理学家打开手电筒，照向对面墙壁。他将发现，打到对面墙壁的位置要低于出射位置，因为光向前行进的这段时间里电梯也向上移动了一段距离，即光线发生了弯曲。根据等效原理，电梯处于引力场中与电梯向上加速运动，电梯里的物理现象是一样的。所以，光线在引力场中也会弯曲。


光线在加速参考系和引力场中弯曲。

1911 年 6 月，爱因斯坦将这个研究结果发表于 Annalen der Physik[9]。爱因斯坦还定量计算了光线经过太阳时将偏转的角度，并在论文结尾呼吁天文学家进行观测验证。

光线可能会弯曲，这就引出了一些有趣的问题。日常经验表明，光总是沿直线传播。木匠现在会用激光水平尺来画直线，建造房屋。倘若光线通过变化的引力场时会发生弯曲，那么直线应当如何确定呢？

一种解决方案是，把通过变化引力场的光线的路径类比于球面或曲面上的线。对于球面或曲面来说，两点之间最短的线是弯曲的，比如作为地球测地线的大弧或大圆。也许光线弯曲意味着，引力使光线通过的空间结构发生了弯曲。被引力弯曲的空间区域中的最短路径或许迥异于欧几里得几何学中的直线。这意味着，描述引力场及其带来的效应需要一种新的几何学。而这是爱因斯坦的知识盲区。

爱因斯坦在布拉格虽然有很高的地位和收入，但不适应这里的人际关系和文化。1912 年 7 月，爱因斯坦在没走完离职手续的情况离开了布拉格，又回到了自己熟悉的苏黎世，到他的母校苏黎世联邦理工学院任教授。

爱因斯坦回到苏黎世后，立即拜访大学时的同学、现在的同事格罗斯曼。格罗斯曼是数学教授。


格罗斯曼·马塞尔（Grossmann Marcell ，1878 年 4 月 9 日 — 1936 年 9 月 7 日），匈牙利裔瑞士数学家。

格罗斯曼是爱因斯坦人生的贵人，曾借给爱因斯坦笔记以通过大学期末考试，还动用自家关系帮助爱因斯坦找到专利局的工作。现在，爱因斯坦又要求格罗斯曼提供数学方面的帮助。

格罗斯曼没有让爱因斯坦失望。格罗斯曼对爱因斯坦的问题做了一番思考之后，认识到爱因斯坦需要的数学是黎曼几何。

从 1912 年夏天开始，爱因斯坦与格罗斯曼一起合作向着建立新的引力理论的目标前进。

为实现这个目标，爱因斯坦双管齐下。一方面是“物理方案”，即根据物理学直觉提出要求，并由此找到正确的方程；另一方面是“数学方案”，即运用格罗斯曼建议的张量分析、黎曼几何等数学方法，试图根据更加形式化的数学要求导出正确的方程。

爱因斯坦基于数学方案在 1912 年年底就已经得到了近乎正确的答案，可惜被他错误地放弃了，而且一放就是两年多。

二人基于物理方案提出一种初步的理论，发表于 Zeitschrift für Mathematik und Physik , 1913, 62, 225–261 。论文分为物理部分和数学部分，分别署名为爱因斯坦和格罗斯曼。这一安排，保证了爱因斯坦的优先权。论文题目为Entwurf einer verallgemeinerten Relativitatstheorie und einer Theorie der Gravitation（Outline of a Generalized Theory of Relativity and of a Theory of Gravitation[10]，一种广义相对论和引力理论纲要），常被简称为 Entwurf 。


爱因斯坦和格罗斯曼 Entwurf 论文单行本封面，署名方式很独特。

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1914—1915 年：柏林糟糕的新生活

1913 年 7 月 11 日，德国物理学家普朗克（Max Karl Ernst Ludwig Planck）和化学家瓦尔特·能斯特（Walther Hermann Nernst）来到爱因斯坦的办公室，邀请爱因斯坦去德国任职。二人开出的条件是：增选爱因斯坦为普鲁士科学院院士；新建一个物理研究所，爱因斯坦任所长，但不需要处理行政事务；爱因斯坦还会获得柏林大学教授头衔，但没有硬性教学任务。

尽管爱因斯坦非常厌恶德国的社会文化，但这条件太优厚了，无法拒绝。柏林更吸引爱因斯坦的一点是，那里有他的情人爱尔莎·爱因斯坦，他的表姐兼堂姐。


从左至右依次为瓦尔特·赫尔曼·能斯特（1864 年 6 月 25 日 — 1941 年 11 月 18 日，1920 年度的诺贝尔化学奖得主）、爱因斯坦、马克斯·卡尔·恩斯特·路德维希·普朗克（1858 年 4 月 23 日 — 1947 年 10 月 4 日，量子物理创始人之一，1918 年度的诺贝尔物理学奖得主），照片拍摄于 1931 年。

1914 年 4 月，爱因斯坦住进了柏林新居所。

新生活却陷入混乱的漩涡——他的婚姻危机终于爆发了。

处理离婚让爱因斯坦筋疲力尽。

1914 年 7 月底 8 月初，第一次世界大战爆发。德国陷入对战争的狂热情绪，包括科学家在内的知识分子也普遍支持战争，而爱因斯坦激烈地反对战争，积极参与反战运动，发表文章和演讲，宣扬和平主义、国际主义、世界联邦制。

在柏林的学术会议上，德国教授们不太谈学术了，都在表达“为什么我们德国人在世界上遭人憎恨”的愤愤情绪。而爱因斯坦却公然宣称，德国已经无可救药，希望被协约国粉碎。

爱因斯坦的政治活动和观点让自己在柏林没有朋友。

他住在公寓里，饿了就吃，困了就睡，有了兴致就伏案做自己的研究工作。

1915 年：双英竞赛

1915 年的春天和夏天，爱因斯坦继续对 1913 年发表的 Entwurf 论文做深入思考。

Entwurf 论文非常有希望取得成功，因为这篇论文得到的方程满足能量和动量守恒定律，能够在静态弱引力场的情况下转化为牛顿理论，可惜有着致命的缺点：不满足等效原理。

到了 1915 年夏天，爱因斯坦认为自己解决了这一致命问题。


大卫·希尔伯特（David Hilbert ，1862 年 1 月 23 日 — 1943 年 2 月 14 日），德国数学家，是 19 世纪末和 20 世纪前期最具影响力的数学家之一，被誉为“现代数学之父”，他将哥廷根大学建设为世界数学和物理研究中心。

1915 年 6 月 28 日至 7 月 5 日，爱因斯坦应希尔伯特的邀请访问哥廷根大学，作“哥廷根周”学术讲座。爱因斯坦做了六次报告，每次两小时，介绍他的 Entwurf 论文的结果[11]。爱因斯坦自认为已经说服包括希尔伯特在内的一众数学家信服了自己的广义相对论[12]。

希尔伯特听了爱因斯坦的讲座后，被爱因斯坦的理论深深吸引，他决定自己也上手做一做。

三个月后，爱因斯坦的喜悦就消失了，他发现 Entwurf 论文是错误的，自己并没有解决不满足等效原理的问题。

爱因斯坦果断将 Entwurf 论文抛弃，重新捡起 1912 年放下的数学方案。

1915 年 11 月，爱因斯坦开始了四个星期不知疲倦的疯狂工作。他在普鲁士科学院 11 月份的“周四讲座（Donnerstags-sitzungen）”上报告自己的新进展。11 月 4 日，爱因斯坦做第一场报告，讲自己过去四年的失败探索，即 Entwurf 论文。

爱因斯坦风闻希尔伯特也看出来了 Entwurf 论文的问题，便将 11 月 4 日的论文寄给了希尔伯特一份，以宣示自己的优先权。

11 月 11 日，爱因斯坦讲自己的新思路，依然进展不大。爱因斯坦同样将论文寄给希尔伯特一份。

11 月 13 日，爱因斯坦收到了希尔伯特的回信，上面说对于爱因斯坦的“大问题”，自己已经有了解决方案，将在哥廷根做个相关报告，请爱因斯坦于到哥廷根一起听一听。信中还说自己的方案与爱因斯坦的做法完全不同。爱因斯坦阅后，非常不安。

11 月 15 日，爱因斯坦给希尔伯特回信说自己胃疼和疲惫无法去哥廷根，请寄给自己一份论文。

11 月 18 日，爱因斯坦给出牛顿物理无法解释的水星在近日点的反常运动的新解释，以及太阳弯曲光线的定量计算。

同日，爱因斯坦收到希尔伯特寄来的论文。爱因斯坦给希尔伯特回信，称非常惊讶希尔伯特所得方程与自己的方程完全一致（注：希尔伯特寄给爱因斯坦的信和论文已遗失，这里所说的方程具体是什么方程尚未被科学史家考证清楚）。爱因斯坦在信中明确自己的优先权。希尔伯特回信，表示承认爱因斯坦的优先权。

11 月 20 日，希尔伯特在哥廷根宣讲了他的引力理论。

11 月 25 日，爱因斯坦在柏林宣讲他的引力理论。爱因斯坦得到了正确的引力场方程。

是不是希尔伯特比爱因斯坦早五天得到了广义相对论？

这个问题一度成了物理学史的重要问题，这个问题现在已经梳理得很清楚了。请参阅旅美科学作家卢昌海的分析[13]。


卢昌海的著作《小楼与大师》有一章细致分析了希尔伯特与爱因斯坦在广义相对论方面的竞争。

希尔伯特的论文给出了引力理论的作用量，并没有给出引力场方程。以现在的观点看，从作用量得出引力场方程是一件很简单的事，一个物理系的普通研究生就能做到，但对于当时的探索者而言，绝非如此简单。希尔伯特给出的作用量现在称为爱因斯坦-希尔伯特作用量[14]。建立广义相对论的荣誉只属于爱因斯坦，这一点希尔伯特本人也是承认的。

希尔伯特与爱因斯坦激烈竞争的日子里，爱因斯坦表现出对优先权的敏感，导致二人心生芥蒂，但二人很快冰释前嫌。

1915 年 12 月，希尔伯特提名爱因斯坦为哥廷根数学会通讯会士，爱因斯坦给希尔伯特的致谢信中说：

“我觉得有必要跟您说一件对我来说比这更重要的事情。我们之间近来有着某种我不愿分析其原因的不良感觉。我一直在努力抵御这种感觉带来的苦涩，并取得了完全的成功。我已在心中恢复了与您的往日友谊，并希望您也这样待我。两个已在一定程度上将自己从这个肮脏世界中解脱出来的真正的研究者若不能彼此欣赏，那将是一种真正的耻辱。”

结语

1915 年，36 岁的爱因斯坦创立了广义相对论，继 26 岁创立狭义相对论后，再一次彻底改变了我们对宇宙的认知。时空不再仅仅是物体和事件的容器，时空是有结构的，是弹性的，是动态的，其性质既受物质运动的影响，又反过来影响物质的运动——就像蹦床会随着人的跳动而变形，而蹦床的变形又会决定人的运动。

爱因斯坦创立广义相对论的关键时期，他的婚姻和家庭破裂了，战火肆虐欧洲，与最卓越的数学家展开竞争。当最终抵达目的地，他感到无比的快乐。1915 年 12 月 10 日，他给一位朋友的信中说：“最宏大的梦想如今已得以实现。……”[15]

信的最后署名为：

“来自心满意足但筋疲力尽的阿尔伯特”。

正文参考资料：

[1] https://www.mpg.de/9695595/einstein-in-berlin

[2] https://einstein-annalen.mpiwg-b ... /chronological/1906

[3] https://einstein-annalen.mpiwg-b ... /chronological/1907

[4]https://assets.press.princeton.edu/books/einstein11/chronology.pdf

[5]Weinstein, G. (2015). Einstein's pathway to the special theory of relativity. Cambridge Scholars Publishing. https://physics.sharif.edu/~gr/r ... %20EP-1208.5137.pdf

[6] https://www.uniaktuell.unibe.ch/ ... hung/index_eng.html

[7] https://erenow.org/biographies/einsteinhislifeanduniverse/8.php

[8] [美]菲利普·弗兰克：《爱因斯坦传》，译者：武璐娜，台海出版社，2022年版.

[9] Einstein, A. (1911). Uber den Einfluss der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes. Annalen der Physik, 35(10), 898-908.https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/andp.19113401005

[10] Einstein, A., & Grossmann, M. (1913). Outline of a generalized theory of relativity and of a theory of gravitation. I. Physical part by A. Einstein II. Mathematical part by M. Grossmann. Z. Math. Phys, 62, 225-245.英文版：https://sites.pitt.edu/~jdnorton ... in_Entwurf_1913.pdf

[11] 卢昌海：《小楼与大师》，清华大学出版社，2014年出版。

[12]https://erenow.org/biographies/einsteinhislifeanduniverse/10.php

[13] 卢昌海（2019 年 8 月 26 日）.希尔伯特与广义相对论场方程. 链接：https://www.changhai.org/article ... /Hilbert_and_GR.php（2025 年 11 月 26 日检索）

[14] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E ... C%E7%94%A8%E9%87%8F

[15] Meeriam, A. (2024).The Bond that Shaped Einstein — The Influence of Besso. https://medium.com/@Merrysci/the ... -besso-215ac226ab99

其他参考资料：

1.爱因斯坦建立广义相对论的原始论文与解读：M. Janssen, J. Renn, How Einstein Found His Field Equations: Sources and Interpretation, Springer, 2022

2. 爱因斯坦传，沃尔特·艾萨克森著，张卜天译，湖南科学技术出版社，2015.

3. 上帝难以捉摸：爱因斯坦的科学与生平，亚伯拉罕·派斯著，方在庆, 李勇译，商务印书馆，2017.

4. 爱因斯坦如何建立广义相对论的更技术性讨论，可参考：Physics Today, 2015, 68, 30

5. 希尔伯特与爱因斯坦关于广义相对论的优先权争议分析，可参考：卢昌海，小楼与大师，清华大学出版社，2014.

6. Todorov, I. T., arXiv preprint: physics/0504179

原创  瞿立建  赛先生  2025 年 11 月 26 日 18:17  广东