【数学家的故事】狄利克雷：“他教会我们如何思考数学。”

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【数学家的故事】狄利克雷：“他教会我们如何思考数学。”

原创  黑白  黑白读书笔记  2025 年 12 月 14 日 19:00  吉林



1827 年春天，一位羞涩的年轻人怀揣一本被翻烂的《算术研究》，敲开了哥廷根一栋朴素住宅的门。当高斯亲自开门时，年轻人几乎说不出话来。他没想到，这次会面不仅确立了自己作为高斯思想真正继承者的地位，也开启了一段将严谨数学与浪漫音乐奇妙交融的人生。他是约翰·彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷。

01  “高斯的真传弟子”

1805 年，狄利克雷出生于迪伦，一个具有法兰西血统的家庭，自幼喜欢数学，12 岁时用攒的零用钱来买数学书阅读，16 岁中学毕业后，他违背父母让他学习法律的意愿，下定决心学习数学。

他最开始要在家自学，后来去哥廷根大学拜高斯为师，但高斯并不擅长教学。

17 岁时，他离开德国，旅居巴黎，担任家庭教师，并参加了以傅立叶为首的青年数学家小组。

狄利克雷将高斯 1801 年出版的数论名著《算术研究》随身携带，时时钻研。

这部被誉为“数论圣经”的著作以艰深晦涩著称，当时全欧洲能完全理解的人不超过五个。他后来成为世界上第一个系统讲授这部巨著的人。

02  数学遇见音乐

当狄利克雷的贵人法伊将军去世后，他便不得不要离开巴黎，在听到高斯和傅立叶对狄利克雷的赞赏后，亚历山大·冯·洪堡便邀请他回德国大学教书。

由于狄利克雷没有文凭，在他第二个贵人洪堡的努力下，1825 年，科隆大学授予他荣誉博士头衔。

之后，狄利克雷先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院、柏林大学任教。1831 年被选为普鲁士科学院院士 。

在柏林大学任教期间，狄利克雷的生活迎来了温柔的转折。

他结识了著名作曲家费利克斯·门德尔松的姐姐——瑞贝卡·门德尔松。瑞贝卡不仅出身文化世家，本人也极富学识与艺术修养，他们的结合堪称 19 世纪知识界的佳话。

婚后的狄利克雷仿佛被注入了新的灵感。在瑞贝卡举办的沙龙里，数学家与音乐家、诗人与哲学家济济一堂。

正是在这种文理交融的氛围中，狄利克雷完成了对函数概念的革命性思考。据说他常一边听着门德尔松的《无词歌》，一边构思那些严谨的数学证明。

这段婚姻虽仅持续十年（瑞贝卡因病早逝），却成为狄利克雷学术生涯中最富创造力的时期。

03  学术贡献——连接时代的桥梁

1825 年，年仅 20 岁的狄利克雷做出了第一个重大贡献：他证明了当 a 与 d 互质时，算术序列 a, a+d, a+2d, a+3d... 包含无穷多个质数。

这就是著名的狄利克雷定理。它的意义何在？

在狄利克雷之前，质数的研究主要依靠初等方法。而他创造性地将分析学工具引入数论，开创了解析数论这一全新领域。

这就像给沉默的算术世界装上了扩音器——那些隐藏在整数深处的规律，终于可以通过连续的、可微的函数“发声”了。

高斯对此评价道：“您为算术序列中的质数问题带来了完全意想不到的光芒。”

1837 年，狄利克雷提出了现代函数定义：“如果对于区间内每个 x ，都有唯一确定的 y 与之对应，那么 y 就是 x 的函数。”

这一定义彻底将函数从“可绘制的曲线”解放为“任意的对应关系”。

基于此，他构造了著名的狄利克雷函数：

D(x) = 1（若 x 为有理数）

D(x) = 0（若 x 为无理数）

这个处处不连续、处处不可导的函数，如同一枚“数学手榴弹”，炸毁了当时人们对函数的直观理解，迫使数学家重新思考分析学的基础。

04  师者仁心：从柏林到哥廷根的传承

狄利克雷或许是 19 世纪最伟大的数学教师。

在柏林大学的十三年间，他创立了现代数学讲授的典范：不求速度，唯求透彻。

他的课堂座无虚席，学生中包括后来影响整个数学界的克罗内克、黎曼等人。他的教学格言至今回响：“让学生理解证明的每一步，比覆盖大量材料更重要。”

在柏林期间，他完成了对高斯《算术研究》的“翻译”工作——通过自己的讲义和补充，使这部天书般的著作成为一代数学家可理解、可发展的活理论。

1855 年高斯去世后，狄利克雷被公认为唯一有资格接任哥廷根教席的人。

三年后，他在瑞士蒙特罗的学术会议上突发心脏病去世，年仅 53 岁。

葬礼上，他的学生黎曼沉默地站在人群中，即将接过老师未竟的事业。

05  启示

狄利克雷墓碑上刻着：“他教会我们如何思考数学。”

这句话精准概括了他的一生价值——在天才与常人之间搭建理解的桥梁。

在今天的数学教科书中，狄利克雷的名字出现在多个地方：狄利克雷定理、狄利克雷函数、狄利克雷级数、狄利克雷问题……这些术语背后，是一个数学家对清晰性、严谨性和可理解性的执着追求。

知识的传承与知识的创新同样重要，能将知识传播开去，让更多的人了解、学习、启发、发现其中的乐趣与奥秘，我想，这也是知识的创造者所希望的，在这一点看来，狄利克雷是功德无量的。

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