【数学家的故事】祖冲之：南北朝时期数学家，将圆周率算到七位

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【数学家的故事】祖冲之：南北朝时期数学家，将圆周率算到七位

原创  黑白  黑白读书笔记  2026 年 3 月 8 日 21:19  吉林



公元 464 年，南朝建康（今南京）的一座宅院里，一位中年学者正对着算筹冥思苦想。他的面前，是一个困扰了人类两千年的问题：圆的周长和直径之间，那个神秘的比例究竟是多少？一百多年前，刘徽用割圆术算到了 3.1416 。现在，他决心走得更远。他让儿子帮忙，在书房的地板上画了一个直径一丈的大圆，然后开始切割。从正六边形到正十二边形、二十四边形……一直割到正一万二千二百八十八边形。当最后的结果出来时，他长舒一口气：3.1415926 。这个数字，领先了世界整整一千年。他叫祖冲之——一个在数学、天文、机械、文学领域都留下不朽印记的旷世全才。

01  将门之后，少年成名

公元 429 年，祖冲之出生在建康（今南京）的一个官宦世家。他的祖上原是北方范阳郡（今河北涞水）的名门望族，为躲避战乱南迁。

祖父祖昌任刘宋朝的大匠卿，掌管朝廷土木工程，父亲祖朔之官至奉朝请，是位学识渊博的学者。

这样的家世，给了祖冲之两样最宝贵的东西，良好的教育，以及接触工程实践的机会。

少年时代，他便“专功数术，搜炼古今”，广泛阅读前人著作，尤其钟爱天文学和数学。他常随祖父巡视工地，观察工匠们如何测量、如何计算，这些经历让他早早明白，学问不能只停留在书本上，必须能解决实际问题。

《南齐书》和《南史》中记载，祖冲之“少稽古，有机思”。宋孝武帝刘骏听说他的名声，特意安排他进入华林学省——相当于皇家的学术研究机构。

这一年，祖冲之只有二十多岁。在这里，他可以尽情阅读皇室收藏的珍本秘籍，与全国最优秀的学者切磋交流。他的学术生涯，就此拉开序幕。

02  挑战千年历法——《大明历》之争

祖冲之的科学之路，始于一场震动朝野的论战。

当时官方使用的历法叫《元嘉历》，由著名天文学家何承天在公元 443 年编定。但祖冲之经过长期观测发现，《元嘉历》存在明显误差——日月食的预报不准，节气时常错位。他决心自己编写一部更精确的历法。

公元 462 年，33 岁的祖冲之完成了《大明历》。这部历法实现了两项重大突破：

第一，首次引入“岁差”。古人认为冬至点每年固定不变，但东晋天文学家虞喜发现，冬至点实际上在缓慢移动，大约 50 年向西移动一度。祖冲之证实了这一现象，并将其首次应用于历法计算。仅此一项，就将历法精度提升了一个档次。

第二，改革闰法。传统历法采用 19 年 7 闰的规则，每 200 年就会多出一天误差。祖冲之通过精密计算，提出了 391 年 144 闰的新方案，误差大幅缩小。

然而，当他把《大明历》呈报朝廷时，遭到了守旧派的激烈反对。

宠臣戴法兴在朝堂上厉声斥责：“祖冲之胆大妄为，竟敢随意改动祖宗之法！历法乃古人所制，岂是他一个后生能够妄加评论的？”戴法兴权倾朝野，满朝文武无人敢为祖冲之说话。

但祖冲之没有退缩。

他写了一篇著名的《辩戴法兴难新历》，逐条驳斥对方的责难。在这篇科学史上著名的论辩文中，祖冲之写下一段千古名言：

“愿闻显据，以覆理之。若其无据，甘受显戮。”

意思是：请拿出确凿的证据来反驳我。如果没有证据，我宁愿接受任何惩罚。这种“拿证据说话”的科学精神，在那个皇权至上的时代，显得尤为可贵。

由于戴法兴的阻挠，《大明历》在祖冲之生前始终未能颁行。

直到他去世十年后，在儿子祖暅（geng）的反复请求下，这部历法才终于被朝廷采纳，正式颁行天下。

03  超越极限的征途——圆周率的巅峰之战

祖冲之最广为人知的成就，当属他对圆周率 π 的计算。

在他之前，刘徽已经用割圆术算到 π≈3.1416 。但祖冲之认为，这还不够。他决心将精度再提高一个数量级。

《隋书·律历志》中记载了祖冲之的成果：

“祖冲之更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率：圆径七，圆周二十二。”

这段古文翻译过来就是：祖冲之算出圆周率在 3.1415926 和 3.1415927 之间，并给出了两个近似分数——约率 22/7 和密率 355/113 。

这是一个何等惊人的成就！

直到公元 15 世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡西才算出小数点后 16 位，打破祖冲之的纪录。

公元 16 世纪，法国数学家韦达才重新发现 355/113 这个分数。

祖冲之的精度，领先了世界整整一千年。

更令人惊叹的是，祖冲之如何算出这个结果。

他沿用了刘徽的割圆术，从正六边形开始，一直算到正 12288 边形和正 24576 边形。

这意味着他需要进行开方运算，每一步都要精确到小数点后十几位。在没有任何计算工具的年代，全靠手工摆布算筹，这需要何等惊人的毅力和细心！

《隋书》记载此事时，用了一个意味深长的词：“莫能究其深意”——没人能搞懂他是怎么做到的。

祖冲之没有留下具体的推导过程，就像一位绝世高手，只留下剑法，却未传心法，让后人永远仰望。

04  沉默的巨人——祖暅与“祖暅原理”

祖冲之的数学事业，并非他一个人在战斗。他的儿子祖暅，同样是数学史上不可忽视的名字。

祖暅从小跟随父亲研习数学，后来也成为一代名家。他最著名的贡献，是解决了父亲生前未能完成的难题——球体积公式。

刘徽当年在注《九章算术》时，提出了“牟合方盖”的概念，指出要想求球体积，必须先求出这个立体的体积。但他最终未能成功，只好遗憾地写道：“敢不阙疑，以俟能言者。”

祖冲之生前也曾试图攻克这个难题，但同样未能完成。最后，由祖暅接过了这项任务。

祖暅发现，两个等高立体，如果在任意高度的截面面积相等，那么它们的体积也相等。这一原理，西方称为“卡瓦列里原理”，由意大利数学家卡瓦列里在 1635 年提出，而祖暅比他早了一千二百年。

用这个原理，祖暅成功求出了牟合方盖的体积，从而得到了正确的球体积公式。后人将这一原理命名为“祖暅原理”，以纪念这位继承父志、完成伟业的数学家。

祖暅的成就告诉我们：祖冲之不仅是一位伟大的学者，更是一位成功的父亲和老师。他将自己对数学的热爱和追求，完好无损地传递给了下一代，让科学之火生生不息。

05  被遗忘的发明家——指南车、水碓磨与千里船

祖冲之的才华远不止于数学和天文。他同时是一位卓越的机械工程师和发明家。

指南车：传说黄帝时代就有指南车，但早已失传。祖冲之根据文献记载，重新设计制造了一台指南车。这辆车上安装了一套精密的齿轮系统，无论车子如何转向，车上木人的手臂始终指向南方。据《南齐书》记载，这台指南车“机括圆滑，不差累黍”。

水碓磨：祖冲之在乐游苑设计建造了一座大型水碓磨，利用水力同时驱动多个石碓和石磨，大大提高了粮食加工的效率和产量。

千里船：他设计制造了一种“千里船”，据记载能在新亭江（今南京西南）日行百里。虽然“千里”有夸张之嫌，但这很可能是中国历史上最早的明轮船，利用脚踏或机械驱动的轮桨代替传统划桨。

他还曾复原过诸葛亮的木牛流马，并改进过古代的铜圭表用于精确计时。史书称他“以诸葛亮有木牛流马，乃造一器，不因风水，施机自运”——这个“不因风水”的描述，听起来简直像某种自动化装置。

然而，这些发明大多没有留下图纸和实物，仅在史书中留下只言片语，成为中国科技史上一串闪烁却难以追寻的谜题。

06  最后的时光与永恒的背影

公元 500 年，祖冲之在南朝齐的岁月中去世，享年 72 岁。

在他身后，留下了未竟的《大明历》之争，留下了让后人仰望的圆周率，留下了一堆神秘的机械图纸，也留下了一个数学天才的儿子。

祖冲之去世时，他一生抗争的《大明历》仍未颁行。直到梁武帝天监九年（510 年），在祖暅的反复请求下，这部历法才终于被朝廷采纳，正式使用。从成稿到颁行，整整过去了 48 年。祖冲之没能亲眼看到这一天。

1964 年，紫金山天文台发现的第 1888 号小行星，被命名为“祖冲之”。

1967 年，国际天文学联合会将月球背面的一座环形山命名为“祖冲之”。

从此，这位东方巨人，与刘徽一起，在月球表面遥望地球，见证着人类科学的每一次进步。

2018 年，人类对圆周率的计算达到了 31.4 万亿位。人们发现，这串无限不循环的数字中，可以找到任何人的生日、任何电话号码、任何历史日期。祖冲之当年用算筹算到的那七位数字，依然稳居在这串无限长数的开头。

祖冲之的一生，是一场与无限赛跑的征程。他用算筹丈量圆周，用双眼观测星空，用双手制造机械，用笔墨争论真理。在他身后，留下了一串数字，一串永远在 π 的开头闪烁的数字：3.1415926 。

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