切比雪夫不等式与素数之谜：一个拒绝被限定的俄罗斯头脑

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切比雪夫不等式与素数之谜：一个拒绝被限定的俄罗斯头脑

原创  南方 Er  南方 Er  2026 年 5 月 11日 13:13  广东


切比雪夫

俄罗斯的数学家们常说，他们的现代数学是由切比雪夫带动而建立和发展起来的。这位十九世纪的俄罗斯数学家，全名叫帕夫努蒂·利沃维奇·切比雪夫（Pafnuty Lvovich Chebyshev）。晚年有人夸他是“杰出的俄罗斯数学家”，他反倒有点不高兴——轻轻回了一句：“我难道不首先是‘世界范围的数学家’？”

这话听着有点傲。但你翻翻他的履历，再听听他学生的回忆——真不是吹牛。

天生走不快的人，偏偏走了最远的路

1821 年 5 月 16 日，切比雪夫出生在离莫斯科二百公里开外荒郊奥卡托沃的一个贵族家庭。他祖辈许多人立过战功，父亲列夫参加过抵抗拿破仑入侵的卫国战争，母亲阿格拉费娜出身名门，夫妇俩养育了五男四女，切比雪夫排行第二。按说这种家庭出身，摆在那儿的是一条铺好的军官路。

可老天爷开了个玩笑——他天生左腿就有残疾，走路一瘸一拐。别说骑马打仗了，连普通孩子的追跑打闹都掺和不进去。一个贵族男孩，眼看着兄弟们在院子里撒欢儿，自己只能站在窗后头看着。

这样一来，他童年不好活动，通常独坐家中，养成了闭门看书和安静思考的习惯。他没读过小学和中学，少儿时代全在家里接受初等教育：母亲教他阅读和写作，表姐教法文和算术。他对欧几里得《几何原本》中关于没有最大素数的证明格外着迷——一个孩子，被一个两千年前的证明迷住，这事儿本身就有点不寻常。

反正也跑不了，那就坐下来学呗。这一坐，坐出了一位改变数学史的人。他后来法语说得那么流利，能直接用法语写论文、跟巴黎的数学家称兄道弟，很大程度上要感谢小时候被“按在椅子上”学的那几年。

莫斯科的“偏科少年”遇上了明白人

1832 年，切比雪夫十一岁，全家搬到莫斯科。父母注意到他对数学的特殊兴趣，专门请了当时莫斯科最好的初等数学老师波戈雷尔斯基上门辅导。这位老师一眼就看出这孩子不一般：别人学数学是为了考试，切比雪夫学数学像是……上瘾。给他一道题，他能坐在那儿琢磨一整天，饭都忘了吃。


切比雪夫

1837 年，连中小学文凭都没有的十六岁青年切比雪夫，考入了莫斯科大学哲学系，就读于其属下的物理和数学专业——自己擅长什么，他心里门儿清。

大学里对他影响最大的当属尼古拉·布拉什曼。这位老师特别懂力学，还教代数函数积分和概率论。切比雪夫后来成了大牌教授，钱包里还一直揣着师生两人的合照。1865 年，他在莫斯科数学学会上做了一个用连分数做级数展开的报告，当场把这项成果的启发归功于当年布拉什曼的宝贵的私人谈话，说他直接决定了自己一生的研究方向。

可见有些老师，是能让学生记一辈子的。

家境败落，却败不了一根筋的数学脑子

1841 年是切比雪夫在大学的最后一年。他交了一篇题为“方程根的计算”的论文，提出了一种基于逆函数级数展开的方程近似解法，获得了哲学系颁发的银质奖章。

许多人后来回想起来，都觉得那篇论文的价值远不止一枚银奖——它直到二十世纪五十年代才正式发表，足足迟到了一个世纪。可他好像没太在意，转头就去干下一件大事了。

也是这一年，俄罗斯遭遇特大饥荒，父亲因庄园破产带着家人离开了莫斯科。切比雪夫不仅失去了家庭经济支持，反过来还要负担两个弟弟的部分教育和生活费用。日子一下子紧巴起来，他靠着微薄的助教金勉强维持，继续跟布拉什曼读硕士。穷归穷，心思没乱。

读硕期间，切比雪夫干了一件在当时俄国学术界挺“出格”的事——他直接用法语写了一篇关于多重积分的论文，投给了巴黎的约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）。一个俄国年轻人，硕士都没毕业，就敢往欧洲数学中心递稿子。这胆子哪来的？

那篇论文 1843 年就发在了刘维尔的期刊上。更关键的是，他很可能在 1842 年就借机去了巴黎——当时有个俄国地理学家要去见欧仁·加泰朗（Eugène Catalan），加泰朗是帮刘维尔编杂志的。切比雪夫可能跟着去了。这种“主动搭上国际舞台”的意识，在当时俄国并不多见。他已经看明白了：数学不分国界，只认本事。


切比雪夫

第二篇论文还是用法语写，讨论泰勒级数的收敛。1846 年，他拿硕士论文答辩，内容是关于概率论的——他用了一种既严格又初等的方法，发展了泊松的弱大数定律。每一步，都不是只给俄国人看的。

1846 年，他以题为“概率论基础分析浅论”的论文获硕士学位，用了一种既严格又初等的方法，发展了泊松的弱大数定律。每一步，都透着一股劲儿：越难，越要把东西做漂亮。

硕士之后，切比雪夫随布拉什曼到了圣彼得堡大学，一边教书一边攻读博士学位。他的数学才能很快就得到两位著名数学家——布尼亚科夫斯基和奥斯特罗格拉茨基的赏识和指导。

1847 年，在一份题为“关于用对数做积分”的晋职报告中，切比雪夫彻底解决了奥斯特罗格拉茨基不久前提出的一类无理函数的积分问题，给出的一个关于二项微分式积分的定理，至今还摆在许多大学的微积分教科书里。他凭此被提升为高等代数与数论课程的讲师。

1849 年，他以《同余理论》获博士学位，随后拿下圣彼得堡科学院的最高数学荣誉奖。这还不算什么，真正让他走进数学史中心的，是接下来的素数研究。

离素数定理，就差最后一口气

1845 年，法国数学家约瑟夫·贝特朗提出一个猜想：对于任意大于 3 的整数 n ，n 和 2n 之间至少有一个素数。1850 年，切比雪夫把它干净利落地证了出来。

这还不算完。他差一点就证明了“素数定理”——那个描述素数分布密度的著名定理。他证明了：如果用 π(n) 表示不超过n的素数个数，那么 π(n) 乘以 ln(n) 除以 n ，如果当 n 趋向无穷时极限存在，那这个极限只能是 1 。可他就是没能证明这个极限确实存在。

最后这一步，在他去世两年后，由雅克·阿达马和夏尔-让·德拉瓦莱·普桑各自独立完成。一个数学家穷尽一生，离一座高峰只差最后几米。他似乎没有太纠结——因为他已经走在爬下一座山的路上了。

在巴黎和整个欧洲，他找到了数学的真正空气

1852 年的下半年，切比雪夫做了一趟让他毕生受益的学术访问，遍及法国、英国、德国和比利时。他不但考察了先进的蒸汽机、风磨和机械设备，而且拜访了柯西、刘维尔、比奈梅等一众数学家。

此后十多年间，他几乎每年夏天都跑到西欧去，先后见过厄米特、庞塞莱、狄利克雷、凯莱、西尔维斯特，还与卢卡斯、克罗内克、魏尔斯特拉斯等人建立了长期联络和交流。对切比雪夫毕生研究影响最大的是法国数学学派，光 1873 到 1882 年间，他就多次参加法国科学促进会的学术会议，先后做过十六场数学报告。

他早就看明白了：数学不分国界，只认本事。第一篇论文就敢用法语写，往巴黎投，那胆子大概也是这么养出来的。

1854 年，他发表了《关于称为平行四边形机构的理论》——听着像个工程论文，但“切比雪夫多项式”第一次出现，就藏在这里。后来他逐渐发展出一整套正交多项式理论，头一个意识到勒让德多项式、埃尔米特多项式这些零散的东西可以统一成一个普遍理论。

紧接着，他又把函数逼近论的思想用到机械上，设计了连续运动变脉冲运动机构、直动机、最简平行四边形法则的应用装置，甚至亲自上手制造。


切比雪夫                    

他对机械的痴迷是一生的。他前后共设计了四十多种机器及其八十多个变种——可以模仿动物行走的步行机、自动变换船桨入水和出水角度的划船机、能画大圆弧的曲线规，还有压力机、选种机、自动椅和手摇计算机。他的一些发明分别在 1878 年巴黎博览会和 1893 年芝加哥博览会上展出，其中就有一辆专门为女性设计的自行车。你可能会奇怪：一个数论学家搞什么自行车？切比雪夫的回答大概是：数学不是纸上游戏。

那时他还兼任俄国炮兵委员会的委员，参与革新炮兵装备，提出的弧形炮弹射程公式被军方弹道专家采用。他还在教授联席会上作过“论地图绘制”的报告，专门讨论怎样减少投影误差；甚至在 1878 年法国科学院年会上，他讲了一篇题为“论服装裁剪”的报告，从中提出的“切比雪夫网”日后成了曲面数学理论的重要工具。

他自己把这一切说得特别朴素。1856 年在一场讲座里，他说：“理论观点和实践观点越接近，带来的成果就越大。受益的不只是实践这一边；科学本身也在发展，因为这种靠近给科学提供了新的研究对象，或者给老问题打开了新视角。过去三百年数学进步神速，但实践依然暴露出理论的不完美。它提出全新的问题，逼着我们去寻找全新的方法。在这方面，实践是最好的向导。”

去世前不久，他又留下了一段很有意思的话：“数学已经经历了两个时期：一个是面对诸神设置的原始问题，另一个是面对半神——比如费马、帕斯卡——所提出的问题。今天，我们进入第三个时期：面对人类因需求而提出的、我们必须去解决的问题。”

他一生都在落实这句话。

把“随机”这个词说清楚，让概率论站起来

1867 年，切比雪夫发表《论均值》，用比内梅的不等式给出了大数定律的一个推广形式。今天大家熟知的切比雪夫不等式——严格说应该叫比内梅-切比雪夫不等式——就出自这里。

他开创了证明中心极限定理的矩方法，用极为初等的方式确立了一般形式的大数定律，研究了独立随机变量和函数的收敛条件。二十年后，他又发表《关于概率的两个定理》，推广了棣莫弗和拉普拉斯的中心极限定理。


切比雪夫

在他之后，学生马尔可夫补充了矩方法，给出了随机变量按正态收敛的条件；另一个学生李雅普诺夫发展了特征函数方法，把中心极限定理推到现代数学的框架里。到了二十世纪三十年代，柯尔莫哥洛夫进一步建立了概率论的公理化体系，让苏联在这一领域独占鳌头，而这一切的根，都从切比雪夫那里长出来的。

柯尔莫哥洛夫在 1947 年这样评价：“从方法论的观点来看，切比雪夫所带来的根本变革的主要意义不在于他是第一个在极限理论中坚持绝对精确的数学家……他的工作主要意义在于，他总是从极限规律中精确地估计出任何次数试验里可能出现的偏差并以有效的不等式表达出来。此外，切比雪夫是清楚地预见到诸如‘随机量’及‘期望值’等概念的价值并将它们加以应用的第一人。”

我们现在随口就说“随机抽样的期望是多少”，这套语言，是他打下的地基。


苏联时期发行的纪念切比雪夫的明信片

上课铃一响，扔下粉笔就走

说完了他的研究，得聊聊他当老师的样子。这可能是最让人意外的部分。

十九世纪七八十年代，圣彼得堡大学的数学系里，有个一瘸一拐的老头儿走进教室。铃声一响，他开始讲；铃声再一响，粉笔一扔，扭头就走——绝不拖堂。这不是段子。他在圣彼得堡大学执教三十五年，先后主讲过数论、高等代数、积分运算、椭圆函数、概率论、分析力学、傅立叶级数、函数逼近论和机械工程学等十多门课程。他对教学程序的掌控也像搞数学证明一样严格精密：从不缺课，从不迟到；如果一个证明没来得及讲完，下一节课会从被打断的地方精准地接上。


切比雪夫与同事（左二为切比雪夫）

他的学生李雅普诺夫——就是后来以“李雅普诺夫稳定性”闻名的那位——回忆说：“他的课程并不冗长，他不去考虑所传授知识的总量。相反，他试图阐明所谈及问题的最重要方面。这些都是生动的、引人入胜的讲座。他对某些问题和科学方法的意义和重要性的新奇评论总是很丰富……他的讲课非常令人鼓舞，学生在每堂课中都会获得一些新的和必不可少的知识。他喜欢传授较为开阔而不同寻常的思想观点。”

另一位学生格拉维说得更具体：“课程非常短。铃声一响，他立刻放下粉笔，一瘸一拐地走出教室。最精彩的是他跑题的时候——讲着讲着突然说，上次去法国，埃尔米特怎么评价某个问题；或者说，某某国外同行对这个东西怎么看。这时候整个教室鸦雀无声，生怕漏掉一个字。”

哪个学生不喜欢听老师讲“江湖见闻”呢？那些课本上看不到的、只存在于顶尖学者之间口耳相传的东西，才是一个学科真正的活水。他毕生培养了七名博士，除了李雅普诺夫，还有大名鼎鼎的安德烈·马尔可夫。

从 0 到 1 ：他让俄罗斯数学站到世界前排

十八世纪以前，俄国几乎没有现代数学可言。彼得大帝效仿巴黎科学院在圣彼得堡建立科学院，头一批数学院士全是外国人：欧拉、伯努利兄弟、哥德巴赫。一个世纪之后，才出现了罗巴切夫斯基、布尼亚科夫斯基和奥斯特罗格拉茨基，而除了罗巴切夫斯基，其余人全是在西欧接受高等教育的“海归”。切比雪夫是纯土生土长的——在学术资源贫乏的环境下，自己一砖一瓦建起一个数学王国。

他在圣彼得堡建立了第一所俄罗斯数学研究院，带起了一代年轻人，形成了圣彼得堡数学学派，让俄罗斯数学一下子走到世界前列。正因如此，俄罗斯的数学家们至今都在说，他们的现代数学是由切比雪夫带动而建立和发展起来的。他被尊为俄罗斯现代数学的奠基人和领袖。


切比雪夫

十间大房子，一个不肯公开认的女儿，与数不清的荣誉

切比雪夫终身未娶，一个人住在一栋十间房的大宅子里。他有钱，日常生活挺节俭，唯一的嗜好是买房产，大部分钱都砸在了地皮上。但他有一个女儿。他始终不肯公开承认，却在经济上一直支持她。女儿后来嫁给了一个上校，切比雪夫经常在姐姐家里跟他们见面。一个在数学上追求绝对精确、在学术上追求国际认可的人，私生活里却留了一块模糊地带。他没有解释过为什么，后人也没法替他解释。也许有些事，比证明“ n 和 2n 之间至少有一个素数”更难开口。

荣誉呢？头衔从四十多岁就开始砸过来。1858 年当选圣彼得堡皇家科学院院士。他是第一个被法国科学院遴选为通讯院士、后来成为正式院士的俄国科学家。此外，他还是柏林皇家科学院院士、伦敦皇家学会院士、意大利皇家科学院院士、瑞典皇家科学院院士，拿过法国荣誉军团勋章，俄国的每一所大学几乎都给了他荣誉职位。

但说实话，看着这一长串头衔，我总觉得切比雪夫本人可能没太当回事。否则他不会在晚年说出那句“我难道不是世界范围的数学家”——那更像是一种提醒：别用国籍、机构、头衔来限定一个人。



1894 年 12 月 8 日，他在圣彼得堡去世，享年七十三岁。走的时候，走路还是瘸的。但那条路，从俄罗斯乡村的泥泞小路，一直通到了巴黎、柏林、伦敦的学术殿堂，通到了数论、概率、逼近论、力学的交叉地带。他身后，数学界先后出版了他的论文集、全集和选集；苏联设立了切比雪夫奖金，发行了纪念邮票。数学中以他姓氏命名的东西更是数不胜数——切比雪夫多项式、切比雪夫不等式、切比雪夫滤波器、切比雪夫网……一度连英文拼法都冒出十几种，最后才统一成  Chebyshev 。

今天，任何一个学数学的人，迟早都会撞上这三个字。那时候你就会明白：一个不甘心被定义的人，才配得上定义那么多东西。



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