梅森素数：一道价值十万美元的数学题

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梅森素数：一道价值十万美元的数学题

卢瓦尔河，被誉为"法兰西的母亲河"。卢瓦尔河谷是拉伯雷、笛卡尔、巴尔扎克、乔治·桑、普鲁斯特、香奈儿出生或成长的地方，也是达·芬奇晚年定居、谢世之地。17 世纪法国数学家马林·梅森牧师也生成斯长于斯，他的名字与数学史和计算机发展史上最迷人的谜题之一 —— 梅森素数永远联系在了一起。

蔡天新教授的新作《梅森素数》，用通俗易懂的语言讲述了梅森素数的传奇故事和研究现状，这一传奇跨越 2500 年，涉及亚欧非美 4 大洲。到 2024 年为止，人们共找到 52 个梅森素数，其中有不少由业余爱好者找到，有的因此领走了 10 万美元的奖金。考虑到部分读者的好奇心，书后还有 10 多条附录，包括 52 个梅森素数的发现者和发现时间。为了写作本书，蔡教授还探访了卢瓦尔河畔的小镇与城堡。数学的理性之美，与人文的感性之光，在这本书里相互交融。

撰文 | 蔡天新

一张 10 万美元的支票

道生一，一生二，二生三，三生万物。

——（东周）老子

2000 年的一个春日，居住在美国汽车城底特律的印度人哈吉拉特瓦拉（Nayan Hajratwala）先生收到了总部设在旧金山的电子前沿基金会（EFF）一张 5 万美元的奖金支票，因为一年前的 6 月，他找到了第 38 个梅森素数，这也是到那时为止人类发现的最大素数。众所周知，素数或质数是大于 1 且不能乘法分解的正整数。例如，最小的 4 个素数是 2、3、5、7 ，它们也是 10 以内所有的素数。

那个价值 5 万美元的素数是：

                           2^6972593-1

这也是人类知道的第一个位数超过 100 万的素数，如果把这个素数写成我们熟悉的十进制形式的话，它有 2098960 位。

可是，哈吉拉特瓦拉先生并不是一个数学家，他甚至很可能对寻找素数的数学理论一无所知——虽然他赢得了这笔奖金。他是总部设在伦敦的普华永道会计事务所（Price Waterhouse Coopers）的从业人员，这家会计师事务所拥有近 15 万名员工，遍布 150 多个国家和地区。哈吉拉特瓦拉先生所做的一切，就是从互联网上下载一个程序。这个程序在他平常不太使用的奔腾 II 350 型计算机上悄悄地运行，经过 111 天的计算后，前面所说的梅森素数在 1999 年 6 月的某一天出现了。

九年零两个月以后，即 2008 年 8 月，加利福尼亚大学洛杉矶分校的计算机专家史密斯（Edson Smith）找到了第 47 个梅森素数，有 12978189 位。这是人类发现的第一个超过 1000 万位的素数，当然也是当时已知最大的素数，他因此获得了 EFF 寄来的一张 10 万美元的奖金支票，同时他的发现还被纽约的《时代》周刊推选为年度 50 项科学发明之一。

早在公元前 3 世纪，古希腊数学家欧几里得便在其名著《几何原本》第 9 卷中的命题 20 证明了，素数有无穷多个。笔者愿意相信，梅森素数也会有无穷多个。反正下一张支票，即奖金额度为 15 万美元的支票，仍在等待下一位主人，会开给第一个找到超过一亿位的梅森素数的幸运儿。2024 年 10 月 11 日，英伟达公司的一名前员工找到了第 52 个梅森素数，有 41024320 位，这也是迄今人类发现的最大素数，可是离一亿位的奖励要求仍有距离（或许只是一步或两步之遥）。

值得一提的是，此前一年，第 50 个梅森素数由美国田纳西州联邦快递公司（FedEx）的电气工程师佩斯找到，有 23249425 位。可能是因为 50 这个整数的缘故，日本一家叫虹色的小出版社在不到一个月的时间里出版了一本名叫《2017 年最大的素数》的书，全书共 720 页，没有任何文字，只有一个数字，那就是第 50 个梅森素数。此书出版后第 4 天，首印的 1500 册图书便销售一空了。


《2017 年最大的素数》

那么，何为梅森素数？谁又是梅森先生呢？

梅森神父的沙龙

卢瓦尔河谷是孕育法兰西精神的地方。

——（法国）夏尔·戴高乐

01  美丽的卢瓦尔河谷

1588 年 9 月 8 日，一个秋高气爽的日子，在巴黎西南卢瓦尔河大区的萨尔特（Sarthe）省，一个男孩降生了，他便是后来的天主教神父马林·梅森（Marin Mersenne），一个神奇的数学家兼物理学家。梅森的祖辈都是农民，小时候他在故乡的教会学校念书，加入了当地的教会组织。卢瓦尔河是法国的第一大河和母亲河，她最美的一段是中游 280 公里长的河谷。两岸有许多精致的小山丘，古老的城堡掩映在绿树丛中。萨尔特省因同名的卢瓦尔河支流得名，此河流经的省会勒芒与巴黎的直线距离大约 200 公里。


梅森像

卢瓦尔河谷盛产梨和苹果等新鲜蔬果，每到秋天，这里漫山遍野都是紫色的石楠花，花丛中长满了野生的蘑菇。还有遐迩闻名的白诗南葡萄酒，既可酿成干型，也可酿成甜型。巴黎人喜欢来这里秋游、打猎或捉野鸭。有一个说法，要完整地领略法兰西风情，需要去两个地方，一是巴黎，二是卢瓦尔河谷。多元文化汇聚的巴黎代表了法兰西浪漫而前卫的一面，而卢瓦尔河谷则是法兰西古朴优雅的后花园。巴黎的美，美在各种文化的撞击和矛盾；而卢瓦尔河谷的美，则美在她的自然、恬静和纯粹。


卢瓦尔河畔的蒙梭罗城堡

在萨尔特河汇入之前，卢瓦尔河流经了中央大区的安德尔-卢瓦尔省，安德尔河是卢瓦尔河另一条更大的支流，省名 Indre-et-Loire 就是把两条河流的名字连在一起的，而且是按照字母顺序排列的，et 的意思是“和”，相当于英文里的 and ，而它东北面的省份 Loir-et-Cher (卢瓦-谢尔) 却没有按字母顺序排列，虽说也由两条河流的名字组成。必须指出的是，安德尔-卢瓦尔省是数学家、哲学家勒内·笛卡尔（Rene Descartes , 1596-1650）的故乡，他出生的小镇图赖讷在该省南部边缘，如今已改名笛卡尔镇。

笛卡尔比梅森小八岁，但曾在同一所学校学习，即拉弗莱什的皇家大亨利学校，又译拉弗莱什公学。拉弗莱什是萨尔特省副省会和第二大城市，卢瓦尔河另一条支流卢瓦河（Loir）流经此城。笛卡尔出身贵族，母亲早逝，父亲另娶妻子，他小时候由外祖父母带大，八岁时父亲送他进了这所由国王亨利四世创建的贵族学校。开明的校长见他身体虚弱，却又聪明，便允许他早晨睡懒觉，在床上看书而不必到教室早自修。


亨利四世中学——巴黎最好的两所中学之一 | 图源：作者摄

1610 年 5 月 14 日，当亨利四世的马车驶过巴黎的一条街道时，一个激进的天主教徒冲进马车，用匕首刺伤了国王，他于次日去世。按照国王的生前意愿，他的心脏被取出，安葬在皇家大亨利学校，校方挑选了 24 位成绩优异的学生参与护送，14 岁的笛卡尔也在其中。笛卡尔在这所学校学习了八年，除了人文学科，还学习医学、数学和其他自然科学，他后来建立了平面坐标系和解析几何，同时创立了二元论哲学，成为“近代哲学之父”（德国哲学家黑格尔语）。

02  梅森神父的沙龙

生于养于卢瓦尔河流域，梅森自小聪颖好学，并虔诚地参加教会组织的活动，后来被送到拉弗莱什的皇家大亨利学校研修，在那里他与笛卡尔有一段共同的时光。1611 年，23 岁的梅森又被推选去巴黎，学习神学和希伯来语。两年以后，他正式成为神父，并留在巴黎。在 17 世纪的欧洲，对普通人家的父母来说，神父、医生和律师是最希望孩子从事的三大职业。梅森在米尼姆修道会的两座女修道院授课，他强烈地反对炼金术和占星术，努力捍卫科学。32 岁那年，梅森开始学习数学和音乐，并以传道的名义在西欧进行广泛持久的旅行，仅意大利就去了 15 次。


梅森的修道院复原图，梅森沙龙在其中

梅森与同代最杰出的同胞科学家德扎尔格、伽桑狄、笛卡尔、费尔马、帕斯卡尔等人交往，并与意大利的伽利略、托里拆利，荷兰的惠更斯等通信，成为伽利略学说坚定的支持者。由于当时没有科学杂志，人们可能毕生研究同一个问题，而相互之间并不知道。梅森通过旅行和通信，把消息及时传递给同道。有一个流传甚广的说法，“告诉梅森一个新发现，意味着全欧洲的人都知道了。”不仅如此，梅森本人也对某些问题进行研究或给出建议。例如，他曾研究过摆线，并建议荷兰人惠更斯利用摆线作为计时器，后者因此研制出摆钟。

梅森享有“声学之父”的美誉，并在音乐理论方面有创造性的贡献。梅森定律描述了弦振动的谐波，适用于吉他和钢琴。1635 年，他建立了非正式的巴黎科学协会，有 140 位通讯会员，包括数学家、天文学家和哲学家等，他们来自法国、意大利、荷兰和英格兰等国家。梅森与会员们保持着联系，他在巴黎的家是个大房子，定期在家中举办沙龙，帕斯卡尔父子是其中的常客。梅森出版的著作有《科学中的真理》和《宇宙的和谐》等。


左图：18 世纪最伟大的数学家欧拉，他找到了第 8 个梅森素数。（图源：作者摄）；右图：找到第 25 个和第 26 个梅森素数的高中生诺尔。

插曲

布莱士·帕斯卡尔（Blaise Pascal ,1623-1662）比梅森小 34 岁，两人可谓是忘年交，他的父亲老帕斯卡尔与梅森同龄，是个税务官员。小帕斯卡尔出生在法国中部的多姆山省，四岁那年母亲去世，由父亲和两个姐姐对他进行教育。在他们精心培养下，帕斯卡尔自小就喜欢几何学，他曾独立地得到欧几里得几何的前 32 条定理。发现了儿子的数学天赋以后，父亲决定把家搬到巴黎，为了培养儿子，他后来未再续弦。

12 岁那年，帕斯卡尔发现“三角形的内角和等于 180 度”。随后，他父亲满心喜欢地带他参加梅森沙龙的学术活动，让他大开眼界，并结交了许多科学家。

在德扎尔格的影响下，18 岁的帕斯卡尔写成《论圆锥曲线》。这本小册子的大部分已经散失，但是一个重要结论被保留下来，那就是帕斯卡尔定理：圆锥曲线的内接六边形其三对边延长线的交点共线。圆锥曲线指椭圆（包含圆）、双曲线和抛物线，据说笛卡尔看过后对此书大为赞赏，但是不敢相信它出自一个少年之手。

帕斯卡尔是纯粹的数学家和物理学家，同时也是卓有成就的思想家和作家，他短促的生命甚至为人类的日常生活也做出了有益的贡献。

帕斯卡尔定律是流体力学中的一条重要定律，天气预报时的气压单位叫帕或千帕，保险业的第一个数学公式也是由帕斯卡尔给出的。在帕斯卡尔生命的最后一年，他亲自为巴黎市民设计了第一辆公共马车，随后，他又建议市政府成立出租马车服务公司来管理这一新的交通工具，这是今天全世界每座城市的公交汽车服务公司和出租车服务公司的前身。

德扎尔格（Girard Desargues, 1591-1661）出生在法国第三大城市里昂的一个神职人员家庭，比梅森小三岁。他年轻的时候做过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师。他曾建议巴黎市政府利用机械装置提升塞纳河的水位以供应城内居民，后来他担任黎塞留枢机主教和首相的科技顾问。

1628 年，他作为军事工程师参加了包围滨海城市拉罗舍尔的战斗，在那里见到笛卡尔，两人成为朋友。此时正值欧洲的 30 年战争，之前笛卡尔已有 10 年时间在漫游和军旅生涯中度过，但他只是文官而不实际参战。

1630 年，德扎尔格在巴黎加入了梅森的科学协会和沙龙，对年轻的帕斯卡尔有着重要的影响。德扎尔格提出了“无穷远点”的概念，把直线看作具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。

凭借这些概念的引入，他回答了两个世纪前全才的意大利雕刻家阿尔贝蒂就透视原理提出的一个问题——同一描摹对象在相互平行的两块玻璃屏板上的投影之间的数学关系。而德扎尔格定理是这样说的：假如平面或空间的两个三角形的对应顶点的连线共点，那么它们的（三组）对应边（延长线）的交点共线。

德扎尔格定理是射影几何学的基本定理，射影几何学是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后依然保持不变的图形性质的几何学分支，又称投影几何学。

在梅森的科学协会中，也有来自巴黎以外的同胞，最著名的便是南方图卢兹城里的费尔马（Pierre de Fermat ，1601-1665），他是个地方法官。因为当年的法国政府有要求，法官要尽量避免参加社交活动，以免判案时遇到熟人有偏颇，于是费尔马就把无数个夜晚奉献给了数学研究。经过梅森的介绍，费尔马与帕斯卡尔通信，有一阵子他们讨论了赌博中获胜的概率问题，他们的通信奠定了概率论这门学科的基础。

梅森的科学协会和沙龙是 1666 年由国王路易十四宣布成立的法兰西科学院的雏形，据说那会儿法国有 15 个类似的科学技术协会，梅森的协会和沙龙之所以能够胜出，应该得益于他吸引的同仁水平之高。遗憾的是，法兰西科学院成立时梅森已不在人世了，其他人成为该科学院的创始院士。1648 年 9 月 1 日，梅森死于肺脓疮引发的并发症，享年 60 岁。有的历史学家认为，那天他与老同学笛卡尔在一起时，因为天气太热饮用了过量的淡水。正如达·芬奇死于弗朗索瓦一世怀中，梅森是死在好友伽桑狄怀中。这位伽桑狄与笛卡尔一样，也是一位数学家兼哲学家，我们将在第 12 节详细介绍。

03  梅森素数的奥秘

既然与那么多数学家交往密切，梅森自己必然也投身于数学研究。1644 年，梅森在系统地研究了形如 Mn=2^n-1 的素数以后，公布了他的结果。这里 n 是正整数，Mn 被后人称为梅森数。当梅森数为素数时，称为梅森素数；而当梅森数为合数时，称为梅森合数。不难发现，要使梅森数成为梅森素数，则 n 必须是素数。否则，若 n 是大于 2 的偶数，则由中学里学过的因式分解理论可知，Mn 是 3 的倍数；而若 n 含有奇素数因子 p ，则 Mn 是 2^p-1 的倍数。故而，它们均非梅森素数。

另一方面，我们也不难验证，

                       M2=3 ，M3=7 ，M5=31 ，M7=127 ，M13=8191 。

这些数均为梅森素数。据说，当年梅森曾猜测并希望，所有形如 Mp 的梅森数都是素数，只要 p 是素数。在梅森去世前两年出生的德国数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz , 1646-1716）和他稍晚的同胞哥德巴赫（Christin Goldbach ,1690-1764）也曾经认为，这个结论是对的。可是后来，包括梅森在内的人们发现，这个判断有误。事实上，早在 1536 年，英国人莱吉乌斯（H. Regius）在斯特拉斯堡（今属法国）出版的著作《算术掠影》里就已指出，M11 不是素数，因为

                             M11=2^11-1=2047=23×89 。

值得一提的是，莱吉乌斯在拉丁语里的意思是皇家，莱吉乌斯教授（Regius Professor）在牛津、剑桥、圣安德鲁斯、格拉斯哥、阿伯丁、爱丁堡和都柏林大学均属于皇家教授头衔。例如，牛顿的老师巴罗（Isaac Barrow , 1630-1677）30 岁那年被剑桥大学任命为 Regius Professorship of Greek ，但教了两年他就不教了，因为来修希腊语的学生太少了。

于是，巴罗便改教数学，又被学校任命为新设立的卢卡斯讲席教授，结果就教出了牛顿。等到牛顿 26 岁，其成就超过了巴罗，38 岁的巴罗便主动让贤了，牛顿出任第二任卢卡斯讲席教授。如今，卢卡斯教授已成为剑桥乃至英国最具声望的教授职位。“一个爱书的人，他必定不至于缺少一个忠实的朋友、一个良好的导师、一个可爱的伴侣和一个温情的安慰者。”巴罗的这句名言流传至今。


为牛顿让贤的巴罗

也正是由于莱吉乌斯的这个发现，让梅森素数和完美数问题悬念迭起。人们想知道，对哪些素数 p ，梅森数 Mp 是素数？对哪些素数 p ，梅森数 Mp 是合数？这里先告知部分结果，经过不同年代的人们的计算，在不超过 100 的素数中，当且仅当 p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61 或 89 时，Mp 为梅森素数，共 10 个；而 100 以下的梅森合数有 15 个，它们对应的 p = 11, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 67, 71, 73, 79, 83, 97 。

通常来说，已知最大的梅森素数也是已知最大的素数（反例在本书中偶有出现），因此梅森素数的寻找显得特别有意义。尤其是在过去近半个世纪里，因为大素数可以用来构造密码学中的公开密钥系统。可是，我们既无法判定是否存在无穷多个梅森素数，也无法判定是否有无穷多个梅森合数，虽说两者之中至少有一个成立。但是，如果存在无穷多个 4m+3 型索菲·热尔曼素数，则必定有无穷多个梅森合数。

索菲·热尔曼素数是指这样的素数 p ，2p+1 也是素数。例如 2、3、5、11、23 是索菲·热尔曼素数，而 7、13、17、19、27 不是索菲·热尔曼素数。它得名于法国女数学家和物理学家索菲·热尔曼（Sophie German ,1776-1831）。上述有条件下无穷多个梅森合数的存在性证明并不高深，只需用到初等数论中二次剩余的性质。另一方面，我们可以利用梅森素数的性质证明素数有无穷多个，这个证明需要用到抽象代数里有关群论的知识（以上两个证明参见附录 1 和附录 2 ）。

热尔曼出生于巴黎的一个殷富人家，父亲有很多藏书，有不少是科学方面的书籍，她从小就读到阿基米德的故事、牛顿和欧拉的著作，对数学和物理学尤感兴趣。但在她生活的年代，女性是远离大学和学术的，于是她只好化名男子与同胞数学家拉格朗日、勒让德以及德国数学家高斯等通信，她在费尔马大定理的研究中做出了突出贡献。后来高斯建议哥廷根大学授予她荣誉博士学位，可惜未及授予她便患乳腺癌去世了。


2016 年，法国发行纪念热尔曼的邮票

1889 年，为纪念法国大革命 100 周年，埃菲尔铁塔在巴黎建成，铁塔四周刻有 72 位法国科学家和工程师的姓氏，其中数学家有 16 位，按照索菲·热尔曼的贡献，她本有机会位列其中，但可能因为性别的缘故，她没有被选中。另一个遗憾是，群论的创立者伽罗瓦（Evariste Galois，1811-1832）也没有被选中，他在 20 岁那年死于情人决斗。伽罗瓦利用自己的发明彻底解决了根式求解代数方程问题，由此发展出来的一整套有关群和域的理论被称为伽罗瓦理论。


《梅森素数》（电子工业出版社，2026.5 ）

本文摘自蔡天新著《梅森素数》“引子”与“第一章”，有删节。

蔡天新  返朴  2026 年 6 月 7 日 09:44  北京

ysr

梅森素数可能是有无穷多，以前我做过一个“证明”，找不到原稿了，思路可能是:行如2^p-1的数，只有当p为特殊素数的时候才是素数(可能仅仅是个必要条件)，而这样的特殊素数是无穷多的！