满足条件（i）f(0)=-1（ii）f(x^2) 被 f(x) 整除的二次多项式 f(x) 有几个？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

天元酱菜院

解：
设 f(x) = a x^2 + b x + c         （a不为0）
根据条件1， f(0)=-1  即 c=-1
根据条件2， a x^4 + b x^2 - 1   可以被  ax^2 + bx - 1 整除
    做多项式除法如下：
         a        0          b               0              -1
         a        b         -1
---------------------------------------------------------------------
                 -b          b+1             0              -1
                 -b       -(b^2)/a        b/a
---------------------------------------------------------------------              
                       (b^2)/a+b+1    - b/a           -1

此时的余式： （(b^2)/a+b+1）x^2    - b/a x  -1  亦应能被ax^2+bx-1整除
设【（(b^2)/a+b+1）x^2    - b/a x  -1】= k【ax^2+bx-1】
有： (b^2)/a+b+1）=ka;    -b/a = kb ;    -1=-k
即：k=1 带入上述另外两式，有：  b^2 + ab +a = a^2 ;   -b=ab
当b=0 时， 有a^2=a  因a不为0，所以，a=1
当b不为0时， 有a=-b/b=-1, 带入【 b^2 + ab +a = a^2 】有，b^2-b-2=0，
   解出这个一元二次方程，有 b=2 和 b=-1
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  结论： 本题有3个解，分别是： f(x)=x^2-1;  f(x)=-x^2+2x-1;   f(x)= -x^2-x-1

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。