[讨论]我研究的一种新傅立叶级数

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2011/01/31 11:10pm 第 2 次编辑] 春节到了，先祝陆教授合家快乐，身体健康，万事如意！ 众所周知，大多数周期函数都可以用傅立叶级数表达出来。但传统的傅立叶级数有一个弱点，收敛太慢。如果仅取有限项，则不仅往往达不到所需的精度，而且在间断点附近存在过冲现象。 我在考虑一种新的傅立叶级数方法。在无线电技术中有某个原理：如果信号变换前后积分相等，则一般来说，可以不失真地还原原信号。 如下图的周期矩形函数f(x)，用传统的傅立叶级数方法很容易计算其系数，这里从略。 我的方法是：先设一个初始函数：g(x)=B-B*cos(2πx/d) 令：∫g(x)dx=a*h，0<=x<=d。这样便可以求出B的值。 接下来，显然g(x)在某些位置>f(x)，另一些位置

qingjiao

还有一个问题：f(x)与g(x)在x=0, +/-md的位置都为0。如果我们将这些位置都看成是黄色区域，即-0，那么h(x)的频率就应该是g(x)的三倍而非两倍。那么究竟h(x)是二次谐波还是三次谐波？或者说，将h(x)假设为二次和三次谐波，哪个与原函数更符合？

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2011/02/01 11:59pm 第 1 次编辑]


或者换一个角度考虑。本题的原函数是偶函数，若进行傅立叶级数分解，必然是以下形式：
f(x)=a0+a1cosw1x+a2cosw2x+......
显然其中一次，二次，...n次谐波在一周期内（d）的积分都为0。故a0=a*h，而a1，a2，...an是可以根据需要调整的。
那么如果只取到二次，三次或四次谐波，如何调整a1，a2，a3，a4的值，使其与原函数的总误差最小？
所谓总误差可以这样定义：设近似函数为g(x)，则总误差=∫│g(x)-f(x)│dx。对于上图来说，就是黄色面积与蓝色面积的绝对值之和。

luyuanhong

你对 Fourier 级数能提出一些自己的想法，很好！
但是，在你的方法中，必须求两个函数的交点，解超越方程，实际做起来是非常困难的，
好像没有什么比较简单的办法能克服这一困难。

qingjiao

下面引用由luyuanhong在 2011/02/02 09:51am 发表的内容：
你对 Fourier 级数能提出一些自己的想法，很好！
但是，在你的方法中，必须求两个函数的交点，解超越方程，实际做起来是非常困难的，
好像没有什么比较简单的办法能克服这一困难。

我现在想到一个可能比较简单的方法：先求出传统傅里叶级数的系数，根据这些系数再调整前n项的值，总有一组值是误差最小的。那么前n项系数就不是原来的值了。
当然这样做起来也是很复杂的。陆教授是否有兴趣再研究一下？