求数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……的通项公式

王守恩

数列  1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ······ 有通项公式吗？

谢谢 elim！谢谢 陆老师！看懂了，大家是同一个答案。

\(a(n)=Round(\sqrt{2n-1})=Round(\sqrt{2n})\)
\(=Floor(\sqrt{2n-1}+1/2)=Floor(\sqrt{2n}+1/2)\)
\(=Ceiling(\sqrt{2n-1}-1/2)=CeIling(\sqrt{2n}-1/2)\)

elim

挑战：证明所有已知的正确解都是代数等价的．

时空伴随者

朱明君 发表于 2022-10-31 17:37
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，…。
1，2，2，3，3，3，4，4，4，  4，  5，  5 ...

一言以蔽之，重复了一下3楼的叙述，毫无进展。


关键是任给n，求\(a_n\)，而不是本末倒置。

时空伴随者

elim 发表于 2022-11-1 08:54
挑战：证明所有已知的正确解都是代数等价的．

数列  1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，6，6，6，6，······　有通项公式吗？
题目隐含，数列单调递增，有且仅有k个k，k为正整数。当且仅当n为三角数+1时\(a_n\)增1，何为三角数呢？能排成正三角形的数，\(d_k=\frac{k(k+1)}2\)，k=1,2,3,···　
当\(n=\frac{k(k+1)}2+1\)时，\(a_n=k+1\)
即当\(k=\frac{\sqrt{8n-7}-1}2\)时，\(a_n=k+1\)
也就是\(a_n=\frac{\sqrt{8n-7}+1}2\)，注意此时是严格的相等，没有取整！
例如n=7,11时，\(a_n=4,5\)。
当\(d_k+1\lt n\le d_{k+1}\)时，向下取整即可。
总之\(a_n=Floor(\frac{\sqrt{8n-7}+1}2)\)
根据定义\(a_n=Round(\sqrt{2n-\frac74})\)
显然 \(Round(\sqrt{2n})\ge Round(\sqrt{2n-\frac74})\)
当\(n=d_{k+1}\)时，\(\sqrt{2n}+\frac12=\sqrt{(k+1)(k+2)}+\frac12\)
\(\lt \sqrt{(k+1)(k+2)+\frac14}+\frac12=\sqrt{2(d_{k+1}+1)-\frac74}+\frac12=k+2\)
也就是 \(Round(\sqrt{2n})=k+1\)
所以\(a_n=Round(\sqrt{2n})\)成立。