[闲谈] 如果 无穷小=0 , 那么…

尚九天

    如果 无穷小=0 ,
    那么 钟面上两指针夹角 无穷小时 两指针重叠?
    还是 钟面上两指针夹角 等于0 时 两指针重叠?

GLYZHJ

无穷小>0

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/08/28 08:55am 第 1 次编辑]

    楼主问的问题，其实是一个怎样看待“0”和“无穷小量”的问题。
    在标准的微积分、在正统的数学中，其实是不承认有“无穷小量”存在的。在一般常见的数学书中，有时候也会说到
“无穷小量”，不过是作为一个临时的通俗的说法，代替复杂的“ε，δ ” 、“ε，N”说法，并不等于承认有“无穷小量”。
由于在正统的数学中不承认有“无穷小量”的存在，所以，一个数，要么是 0 ，要么不是 0 ，没有其他选择；两个数量，
要么相等，要么不相等，没有其他选择；两条直线，要么平行，要么不平行，没有其他选择；钟面上两根指针，要么重叠，
要么不重叠，没有其他选择；等等。这样，就会引起许许多多无法说清楚的问题，楼主问的问题，其实就是这类问题。
    上个世纪60年代，数理逻辑学家阿伯拉罕•罗宾逊（Abraham Robinson，1918-1974，生于德国的犹太人，1962年去美国）
提出一种“非标准分析（Nonstandard Analysis）”。
    在“非标准分析”中，把“无穷小量”“无穷大量”作为实在的数学概念、数学对象引入到数学中。实数域中引入了
“无穷小量”“无穷大量”后，扩充成为“超实数（Surreal Numbers）”。“无穷小量”“无穷大量”像普通实数一样，
可以进行各种运算，可以比较大小。罗宾逊严格证明了，这样做，在数理逻辑上不会发生任何矛盾，不会出现任何悖论。
    我在几十年以前，在读大学的时候，就学习和研究过“非标准分析”。根据“非标准分析”的观点，再加上我自己的体会，
我得出了这样一种结论：
    数学中的“0”，其实可以分为两种：一种是“真正的绝对的零”，另一种是“（非零）无穷小量”。一个“无穷小量”，
如果要求它的数值，问它的数值等于什么，可以说它“等于0”。但它并不是“真正的绝对的零”，它与“真正的绝对的零”
有许多不一样的地方，例如，“真正的绝对的零”不能做分母，而“无穷小量”可以做分母；“真正的绝对的零”乘以任何
数（包括“无穷大量”）都等于 0 ，“无穷小量”乘以“无穷大量”却不一定等于 0 ；等等。正因为“无穷小量”并不是
“真正的绝对的零”，所以又可以说它“不等于零”。
    由我上面提出的结论，可以进一步推出：
    数学中的“相等”，可以分为两种：一种是“真正的绝对的相等”，另一种是“相差一个无穷小量的相等”；
    两条直线的“平行”，可以分为两种：一种是“真正的绝对的平行”，另一种是“两直线夹角为一个无穷小量的平行”；
    概率论中的“零概率事件”，可以分为两种：一种是“绝对不可能发生的事件”，另一种是“有可能发生但发生概率是
一个无穷小量的事件”；等等。
    用这种观点去看问题，许多引起疑惑的问题都可以得到解决。
   

尚九天

    谢谢先生赐教!
    两针夹角无穷小,两针不重叠,
只有：
      两针夹角等于0时,两针才能重叠.
    如果说：
            两针夹角为 0.0000000000……000000000001 度时两针重叠,小学老师是要瞪眼的.

仙剑魔

但是无穷小<>0 0是绝对的 无穷小是一个相对的概念,只能说接近0 说白了就是精度问题么... 只要达到一定精度了,那么就是我们概念里可以接受了的程度

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/04/13 07:41am 第 1 次编辑]

我认为，两根指针的“重叠”，可以分成两种：一种是“真正的绝对的重叠”，另一种是“夹角为一个无穷小量的重叠”。
当两针的夹角是一个无穷小量的时候，我们可以说两根指针“重叠”，也可以说“不重叠”，这取决于我们怎么看。
如果我们从宏观来看，用无法看到无穷小量的“肉眼”来看，我们看不出两针之间还有一个无穷小的夹角，这时，
我们就可以认为这两根指针是“重叠”在一起的。
如果我们从微观来看，用一台可以看到无穷小量的“显微镜”来看，我们可以看到这两根指针之间，
还有一个无穷小的夹角，这时，我们就可以认为，这两根指针是“不重叠”的，并没有重叠在一起。

尚九天

    建议 luyuanhong先生,把《非标准分析》一书译成中文,为中国数学科普做出供献,功莫大焉,且必畅销.
    因为中国不同于別国,中国的数学爱好者特別多,他们大多沒有受过专业训练,不懂外语,对“无穷大”、“无穷小”等问题认识糢糊.

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/04/13 07:42am 第 1 次编辑]

原文的《非标准分析》写得非常艰深，即使翻译出来，一般人也很难读懂。
我现在很忙，如果以后有时间，我可能会把我自己学习研究《非标准分析》的体会，用通俗易懂的方式写出来。

尚九天

    先生抽暇,把该书中的重点章节“深入浅出”地写成一本小册子出版,也将是非常有意义的事情.
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                     深入浅出是功夫,
                     浅入深出是浪费.
                                    ---- 华罗庚

zhaolu48

两个无穷小作比较时，或无穷小与无穷大相乘时，才能显现出无穷小的非零性质。
如果作为一个运算最后结果是无穷小时，它与零没有区别。
比如定积分得到的结果，不认为它有误差，即把无穷小的误差作零对待了。
∫(0，π)sinxdx认为是绝对等于2的。