Φ(m)函数的性质

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Φ(m)函数的性质 或 The Nature of the Φ(m) Function
应用数学进展  AAM  >> Vol. 9 No. 1 (January 2020)

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Φ(m)函数的应用：广义哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想：
对于任意大于2的正整数n，偶数2n都可表示为二个素数之和。
即：对于任意n∈N(N≥3)，存在 p, q∈P (P为素数)，使得2n=p+q.
广义哥德巴赫猜想：
对于任一充分大的偶数2n，若n对于模m的余数为a (a，m互素)，则偶数2n可表示为二个对于模m的余数为a的素数之和。
即：若n≡a (mod m) ( n为充分大的正整数)，且(a,m)=1，存在 p, q∈P (P为素数)，p≡q≡a (mod m)，使得2n=p+q.

设G(x)为偶数x可表示为二个素数之和的表示数即偶数x的 (1+1) 表示数，
G(a, m, x)为偶数x可表示为二个对于模m的余数为a的素数之和的表示数，
Φ(m)为偶数x的 (1+1) 表示数对于模m的分类数，则：
        若 m=2^n, G(a, m, x) ～1/Φ(m)×G(x) ～1/φ(m)G(x) (～为等价符号)
        若m为偶数, G(a, m, x) ～1/Φ(m)×G(x), Φ(m)=m/2Π(1-2/p) (p为m的奇素因子)
        若 m 为奇数, G(a, m, x) ～1/Φ(m)×G(x), Φ(m)=mΠ(1-2/p) (p为m的奇素因子)
其中，G(x) ～2C*Π(p-1)/(p-2)*x/(lnx)^2  (p 为x的奇素因子. C =Π(1-1/(p-1)^2 )，p遍历所有奇素数.)
显然，当m=2，m=3 或m=6 时，G(a, m, x)与G(x)等价。
例如：
形如2 + 30k的大偶数2n都可表示为形如1 + 30k的两个素数之和，且其表示数约为偶数2n的(1 + 1)表示数的1/3。

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如果Φ(m)函数的性质都没有搞清楚，就用Φ(m)函数的连乘积公式研究哥猜，是否是本末倒置?

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对于大偶数x，设G(x)为偶数x可表示为二个素数之和的表示数即偶数x的 (1+1) 表示数：

如果能证明，即使证明G(x)＞1/10000*x/2Π(1-2/p)，也是证明了哥猜。
如果能证明，即使证明G(x)＞1/10000*x/(lnx)^2，也是证明了哥猜。
没有经过证明的所谓下限式，即使没有反例，都是猜想！

wangyangke

下面介绍一个装模作样的二百五——

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本论坛元老级的二百五：wangyangke，回你的主帖自娱吧，夲帖并不欢迎你，望你自重，不要以老卖老！

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ysr：
对偶数的一半内的素数每m-1个算一个区间，每个区间中能产生拆分素数和对个数的平均值大于等于1的证明，重发如下：
“证明连乘积公式：（（p^2+1）/4）*（1/3）*（3/5）*……*（1-2/p）/（m-1）为不减函数，（其中m-1>=2）

证明：由于p^2+1>p>m，所以连乘积分子大于分母m-1，也可以这样做，我们去掉分母m-1不讨论，先讨论分子连乘积的大小，第一项乘数（p^2+1）/4不考虑先去掉，剩下的为（1/3）*（3/5）*……（1-2/p），这是个减函数，若把分母都变为连续的奇数，则为（1/3）*（3/5）*……*（1-2/（2s+1））（设2s+1=p），错位约分得到结果为1/（2s+1）=1/p，由于这是个减函数，项数越多越小，比原来的连乘积多了不少项，所以是小于原来的连乘积的，由于p^2+1>p>m，所以若p>=97，则p/4>m-1，（因为97以内有25个素数，此时m-1=24），（p^2+1）/p>（p^2+1）/（4p）>m-1，则因为分子大于（p^2+1）/（4p），则有此时分子大于分母m-1，分子的增长速度大于分母的增长速度故是不减函数，而在p小于97时，我们可以代入数值验证其整数部分是不减函数，则原函数是不减函数，证毕”

文中证明当p>=97，即偶数为p^2+1=97^2+1=9409+1=9410时，每m-1个素数中已经平均值已经至少有1个，实际远远大于1，这里m=25是实际值，而实际9410有125对，平均值每25个有5个。所以，从此已经远远成立远远大于m，而小于9410的偶数，我已经验证了多遍，当偶数大于等于500时，平均值已经大于1，而m此时是按实际值计算的，小于500的偶数，按欧拉公式的计算结果每m-1个平均值至少一个是成立的，此时m=2√x/lnx=M/lnM，M=√x，x为偶数，为照顾到大于等于4的全体偶数，m的值就按公式计算结果为标准！

这个连乘积不等式左边就是个理论值，是下限，是连续值，是不减函数，每一点都是低于实际值的平均值的最低值（也叫极小值），因为它是滞后实际的，所以总是小于实际，不管实际增长到多大，都按1计算，就是最低值，就是绝对下限。

问题：
连乘积公式：（（p^2+1）/4）*（1/3）*（3/5）*……*（1-2/p）与素数和对个数有什么关系？

wangyangke

下面介绍一个装模作样的二百五——

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元老级的二百五：wangyangke，只能靠蹭热度混日子了！

wangyangke

二百五discover自然不知discover是二百五啦，，，，