试证积分公式：∫(0,+∞)e^(-x)lnx dx=-γ

elim

题：试证\(\,\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{\ln x}{e^x} dx=-\gamma\)

永远

这个结论，我是直接拿来用的，用于http://www.mathchina.com/bbs/for ... id=2044190#lastpost这个积分的细节证明

永远

楼上图片中内容说明主贴积分结果

永远

https://zhuanlan.zhihu.com/p/114320236

通过Gamma函数的积分定义来求

elim

luyuanhong

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elim

elim 发表于 2020-12-13 19:27

题：试证\(\;\displaystyle{\small\int_0^{\infty}}e^{-nx}\ln x dx=\small-\frac{\gamma+\ln n}{n}.\)
解：易见\(\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^n\big(1-{\small\frac{x}{n}}\big)^{n-1}\ln xdx=\int_0^{\infty}e^{-x}\ln xdx\)
\(\qquad\displaystyle\int_0^n\big(1-{\small\frac{x}{n}}\big)^{n-1}\ln xdx\overset{u=1-\frac{\large x}{n}}{=}n\int_0^1 u^{n-1}\ln(n(1-u))du\)
\(\displaystyle\qquad=n\ln n\int_0^1 u^{n-1}du+n\int_0^1 u^{n-1}\ln(1-u)du\)
\(\displaystyle\qquad=\ln n-n\int_0^1\sum_{k=1}^{\infty}{\small\frac{1}{k}}u^{k+n-1}du=\ln n-\sum_{k=1}^{\infty}{\small\frac{n}{k(k+n)}}\)
\(\displaystyle\qquad=\ln n-\sum_{k=1}^n{\small\frac{1}{k}}=\ln n-H_n\overset{n\to\infty}{\longrightarrow}-\gamma.\)
\(\therefore\quad\displaystyle\underset{\,}{\int_0^{\infty}}e^{-nx}\ln xdx\overset{s=nx}{=}{\small\frac{1}{n}}\int_0^{\infty}e^{-s}(\ln s-\ln n)ds\)
\(\qquad\boxed{\int_0^{\infty}e^{-nx}\ln xdx=\small-\frac{\gamma+\ln n}{n}\quad(n\in\mathbb{N}^+)}\qquad\small\square\)

luyuanhong

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