关于泰勒定理比皮亚诺定理条件宽松的原因，这样理解是否正确？

wufaxian

请看下图分别是泰勒定理和皮亚诺定理，泰勒定理要求在一个区间存在n阶可导，而皮亚诺定理只要求在\(x_{0}\)存在n阶导数。造成这种差异的原因是不是因为泰勒定理中的拉格朗日余项当中存在\(f^{n+1}(c)\)，而这个c是在ab之间“游动的”，随着泰勒多项式的项数不断增加，c的游动范围不断缩小，但是你还是不知道c究竟在ab区间的哪一点，所以只能要求f在ab区间存在n阶导数。

但是皮亚诺定理中用皮亚诺余项代替了拉格朗日余项，\(f^{n+1}(c)\)消失了，因此就不需要在区间存在n阶导数。只需要在\(x_{0}\)存在n阶导数就可以让定理成立了。

不知道是不是这样？

泰勒定理


皮亚诺定理




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皮亚诺定理“条件宽松”的代价

因为泰勒定理限定了在区间ab存在n阶导数，所以只要知道f(a)和他的n阶导数，且f(a)n阶导数小于等于某个常数M，我就可以用泰勒多项式去逼近ab区间内的f(x)任意函数值。比如\(e^{x}\)整个定义域都满足上面带下划线部分的条件。因此我只要知道\(e^{x}\)n阶导数的表达式，就可以以泰勒定理作为理论基础用泰勒多项式去逼近任意x对应的\(e^{x}\)的函数值

但是我却不能以皮亚诺余定理为理论基础，去做上面的逼近(逼近可以做，但是不能用皮亚诺余定理做基础。因为皮定理只能在x趋于\(x_{0 }\)的时候使用)

以上理解正确么？