a,b,c 为 ΔABC 中角 A,B,C 的对边，已知 ∠B=60°，证明 (a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)]=3

wintex

請問幾何

luyuanhong

luyuanhong

下面是网友 kanyikan 过去在《数学中国》论坛上发表过的一个帖子：

a,b,c 为 ΔABC 中角 A,B,C 的对边，已知 ∠B=60°，证明 (a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)]=3 。

证明：

由于 ∠B=60°，由余弦定理知 b^2=a^2+c^c-ac，于是 a^2+c^2=b^2+ac

(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)]

=1+c/(a+b)+1+a/(b+c)

=2+c/(a+b)+a/(b+c)

=2+[c(b+c)+a(a+b)]/[(a+b)(b+c)]

=2+(bc+c^2+a^2+ab)/[(a+b)(b+c)]

=2+(bc+b^2+ac+ab)/[(a+b)(b+c)]

=2+(a+b)(b+c)/[(a+b)(b+c)]

=2+1

=3