如何算出 E、F 点的复数坐标，条件见图

天山草

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此问题来源见下图，此图为史勇先生原创。不知他是如何算出 E、F 点坐标的。

denglongshan

1. 
   
2. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) = 1/a;
   
3. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) = 1/b;
   
4. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\) = 1/c;
   
5. Solve[
   
6. \!\(\*OverscriptBox["BE", "\[RightVector]"]\) ((I b)/
   
7.     c) (b - a)/(-a^2 b^2) == (a - c) (
   
8. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
   
9. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\)) - (b - c) (
   
10. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
    
11. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\)),
    
12. \!\(\*OverscriptBox["BE", "\[RightVector]"]\)]
    
13. Solve[
    
14. \!\(\*OverscriptBox["CF", "\[RightVector]"]\) ((-I c)/
    
15.     b) (a - c)/(-a^2 c^2) == (a - b) (
    
16. \!\(\*OverscriptBox["a", "_"]\) -
    
17. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\)) - (b - c) (
    
18. \!\(\*OverscriptBox["b", "_"]\) -
    
19. \!\(\*OverscriptBox["c", "_"]\)),
    
20. \!\(\*OverscriptBox["CF", "\[RightVector]"]\)]

复制代码

应该是史勇的思路，但不知错在哪里

天山草

求 E 点坐标的方法：



求 E 点坐标的程序代码如下：

1. Clear["Global`*"];
   
2. h = a^2 + b^2 + c^2;  
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) = 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2;
   
4. Timing[Simplify[
   
5.   Solve[{Sqrt[(a^2 - b^2) (1/a^2 - 1/b^2)] Sqrt[(b^2 - e) (1/b^2 -
   
6. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\))] == (a^2 - c^2) (1/a^2 -
   
7.          1/c^2) - (b^2 - c^2) (1/b^2 - 1/c^2), (h - b^2)/(
   
8. \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) - 1/b^2) == (e - b^2)/(
   
9. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) - 1/b^2)}, {e}, {
   
10. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)}]]]

复制代码

求 F 点坐标的程序代码如下：

1. Clear["Global`*"];
   
2. h = a^2 + b^2 + c^2;  
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) = 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2;
   
4. Timing[Simplify[
   
5.   Solve[{Sqrt[(a^2 - c^2) (1/a^2 - 1/c^2)] Sqrt[(c^2 - f) (1/c^2 -
   
6. \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\))] == (a^2 - b^2) (1/a^2 -
   
7.          1/b^2) - (b^2 - c^2) (1/b^2 - 1/c^2), (h - c^2)/(
   
8. \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) - 1/c^2) == (f - c^2)/(
   
9. \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) - 1/c^2)}, {f}, {
   
10. \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\)}]]]

复制代码

E 点和 F 点未化简公式表达：



上面公式中如何化简根式？ 即如何确定开方后取正号还是负号，可以用具体数字代入公式验证确定，与实际测量结果一致才行。

根式开方后的正负号确定后，可用软件进一步证明主帖中的公式，方法及结果如下：

天山草

主帖中的命题，可改成更一般的新命题，新命题的说法对于任何形状的三角形都适用，并且不必要求 BC 边最短。



对于钝三角形也适用：



BC 边不是最短也行：

天山草

关于 E1、E2、F1、F2 的标注顺序，共有四种不同的组合，其中两种是 N1N2//OH，另两种不平行。

Future_maths

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下面这个命题消除了原命题的一个毛病，应该是无懈可击了：