此函数不定方程题目简单其解集公式复杂

费尔马1

解函数不定方程:
A^（2n+1）+B^（2n+2）=C^（2n+3）
其中一个答案是:
A=a^[（16n^5+48n^4+44n^3+8n^2－10n－6）k+8n^4+20n^3+12n^2－2n－4]*b^[（16n^4+56n^3+72n^2+44n+12）k+8n^3+20n^2+16n+6]*c^（4n^2+8n+4）
B=a^[（16n^5+40n^4+28n^3+2n^2－8n－3）k+8n^4+16n^3+6n^2－2n－3]*b^[（16n^4+48n^3+52n^2+28n+6）k+8n^3+16n^2+10n+4]*c^（4n^2+6n+2）
C=a^[（16n^5+32n^4+20n^3－6n－2）k+8n^4+12n^3+4n^2－2n－2]*b^[（16n^4+40n^3+40n^2+20n+4）k+8n^3+12n^2+8n+2]*c^（4n^2+4n+2）
其中，a、b、c、n为正整数，k为自然数，且a^2+b^2=c^2

lusishun

n=1时，
A*3+B*4=Z*5.

lusishun

程先生在引领，老鲁仅是普及一点，高次不定方程的研究，才刚刚开始啊！

lusishun

高山昂止，世界顶尖数学成果

费尔马1

lusishun 发表于 2022-3-12 05:31
高山昂止，世界顶尖数学成果

感谢老师关注！请老师先检验一下答案是否正确？

费尔马1

其实，函数不定方程，指数中有字母，所以，指数可以是无穷高次幂，这才是高次丢番图方程，哎！希尔伯特的23个问题之10已经解决了一部分了，老师们说，是不是啊！

yangchuanju

检验：
A^（2n+1）=
a^[(32*n^6+112*n^5+136*n^4+60*n^3-12*n^2-22*n-6)*k+(16*n^5+48*n^4+44*n^3+8*n^2-10*n-4)]
*b^[32*n^5+128*n^4+200*n^3+160*n^2+68*n+12)*k+(16*n^4+48*n^3+52*n^2+28*n+6)]
*c^(20*n^2+16*n+4)
B^（2n+2）=
a^[(32*n^6+112*n^5+136*n^4+60*n^3-12*n^2-22*n-6)*k+(16*n^5+48*n^4+44*n^3+8*n^2-10*n-6)]
*b^[32*n^5+128*n^4+200*n^3+160*n^2+68*n+12)*k+(16*n^4+48*n^3+52*n^2+28*n+8)]
*c^(20*n^2+16*n+4)
A^（2n+1）+B^（2n+2）=
a^[(32*n^6+112*n^5+136*n^4+60*n^3-12*n^2-22*n-6)*k+(16*n^5+48*n^4+44*n^3+8*n^2-10*n-6)]
*b^[32*n^5+128*n^4+200*n^3+160*n^2+68*n+12)*k+(16*n^4+48*n^3+52*n^2+28*n+6)]
*c^(20*n^2+16*n+4)*(a^2+b^2)
C^（2n+3）=
a^[(32*n^6+112*n^5+136*n^4+60*n^3-12*n^2-22*n-6)*k+(16*n^5+48*n^4+44*n^3+8*n^2-10*n-6)]
*b^[32*n^5+128*n^4+200*n^3+160*n^2+68*n+12)*k+(16*n^4+48*n^3+52*n^2+28*n+6)]
*c^(20*n^2+16*n+4)*c^2

当a^2+b^2=c^2时有A^（2n+1）+B^（2n+2）=C^（2n+3）。

yangchuanju

以前曾给出的不定方程A^(2n+1)+B^(2n+2)=C^(2n+3)的另一组通解是：
A=2^[(4n^2+10n+6)*k+(2n^2+4n+2)]
B=2^[(4n^2+8n+3)*k+(2n^2+3n+1)]
C=2^[(4n^2+6n+2)*k+(2n^2+2n+1)]
其中，n为正整数，k为自然数。
检验
A^(2n+1)=2^[(8n^3+24n^2+22n+6)*k+(4n^3+10n^2+8n+2)]
B^(2n+2)=2^[(8n^3+24n^2+22n+6)*k+(4n^3+10n^2+8n+2)]
C^(2n+3)=2^[(8n^3+24n^2+22n+6)*k+(4n^3+10n^2+8n+3)]

A^(2n+1)+B^(2n+2)=(1+1)*2^[(8n^3+24n^2+22n+6)*k+(4n^3+10n^2+8n+2)]
=2^[(8n^3+24n^2+22n+6)*k+(4n^3+10n^2+8n+3)]=C^(2n+3)
通解正确！

费尔马1

yangchuanju 发表于 2022-3-13 15:02
检验：
A^（2n+1）=
a^[(32*n^6+112*n^5+136*n^4+60*n^3-12*n^2-22*n-6)*k+(16*n^5+48*n^4+44*n^3+8*n^2- ...

非常感谢杨老师审核！您的检验方法正确！学生我也是像您这样的方法检验的。

费尔马1

。。。。