关于内积空间是否有反例？

wufaxian

请看下面关于内积空间的定义。概括起来就是满足内积函数四种性质的向量空间就是内积空间。前面学内积的时候，截图中的四种性质本来就满足，那岂不是所有向量空间都是内积空间？有没有反例呢？一般说到空间都说是由哪几个独立向量为基底构建的几维空间。那内积空间的基底和维数又如何定义呢？是否有不是内积空间的某种空间的例子？

liangchuxu

内积空间首先是向量空间，可以说，它是附加定义一种特殊运算的加强向量空间。因此，反例就依据是否需要定义该种运算而定。因为，一般向量空间的加法与数乘运算不具备内积运算的特征。内积空间具备向量空间的一般特征，所以基底与维数是不变的。

wufaxian

liangchuxu 发表于 2022-3-21 10:23
内积空间首先是向量空间，可以说，它是附加定义一种特殊运算的加强向量空间。因此，反例就依据是否需要定义 ...

“因为，一般向量空间的加法与数乘运算不具备内积运算的特征。”
比如给出一个5*5的满秩矩阵。这个矩阵的列空间属于内积空间么？在我目前的知识结构，感觉所有向量空间都满足内积运算特征。任何有基底的空间当中都有向量。任何向量都符合那四条性质。所以什么样的空间才不具备“内积运算的特征”呢？

liangchuxu

wufaxian 发表于 2022-3-21 12:00
“因为，一般向量空间的加法与数乘运算不具备内积运算的特征。”
比如给出一个5*5的满秩矩阵。这个矩阵 ...

我前面强调的是定义。一般向量空间仅满足加法与数乘运算就可。内积空间构成了一个从向量空间至实数域的映射函数。一般向量空间有“长度”概念吗？如果将几何内积运算用到一般向量空间，那当然可以充当内积角色。但是无论如何不能将两者混为一谈。

wufaxian

liangchuxu 发表于 2022-3-21 16:50
我前面强调的是定义。一般向量空间仅满足加法与数乘运算就可。内积空间构成了一个从向量空间至实数域的映 ...

谢谢回复，这个知识超出了我目前的理解范围，我再找本书看看。你有推荐么。