证明：没有一个 2×2 矩阵 A 使得 A[0,0；1,0]=[0,1；1,0]

wufaxian

为什么找不到一个矩阵A使得AM = \(M^T\)？？请看下题和答案。看了英文答案，还是不明白。

假设 T 把每个 2x2 矩阵 M 转置，尝试找出一个矩阵 A 使得 AM = \(M^T\)，证明没 有矩阵 A 做得到。给教授：这个线性变换不是来自一个矩阵？这个矩阵应该 是 4x4！

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2022-4-9 11:01

谢谢lu老师的详细回复。由于我的帖子表述不清，给你造成了误解。
其实这个题目不是针对M=\(\begin{bmatrix}
0&0\\
1&0
\end{bmatrix}\) 这个个例求证AM=\(M^{T}\)不可能。而是说针对任意2*2矩阵都不可能。
受你解题过程的启发，我做了如下计算。发现最后这个问题归结为四个方程是否可以同时成立。但是我不知道这个问题如何解决？


设：M =

[ s11, s12]
[ s21, s22]

N =

[ a11, a12]
[ a21, a22]


那么M*N=
[ a11*s11 + a21*s12, a12*s11 + a22*s12]
[ a11*s21 + a21*s22, a12*s21 + a22*s22]

如果M*N=\(N^{T}\),那么就有：
a11*s11 + a21*s12=a11
a12*s11 + a22*s12=a21
a11*s21 + a21*s22=a12
a12*s21 + a22*s22=a22

如果M*N=\(N^{T}\)  不可能实现。就要证明上面四个方程不能同时成立。这个要怎么求证呢？然后英文答案中说4*4的矩阵可以通过矩阵乘法实现矩阵转置。请问这有什么定理支撑这个结论么？

luyuanhong

如果原题中说的是一般的 2×2  矩阵 M ，那么这样的 A 就完全有可能取到。

举个最简单的例子，设 M 是一个对称阵，它的转置 M'=M 。

这时只要取 A 为单位阵 I ，就会有 AM=I M =M=M' 。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2022-4-9 13:44
如果原题中说的是一般的 2×2  矩阵 M ，那么这样的 A 就完全有可能取到。

举个最简单的例子，设 M 是一 ...

举个最简单的例子，设 M 是一个对称阵———lu老师，这个例子是成立的，但是，是不是太特殊了。题目说：假设 T 把“每个”2x2 矩阵 M 转置。
这可能么。