用待定系数法解四次方程 x^4-2x^3-5x^2+10x-3=0

BlankDiary

您们好！又来请教一个题目的解法

主要是计算四元一次方程时，不太知道怎么求解

Nicolas2050

一般的四次方程还可以待定系数法解，这种方法称为笛卡尔法，由笛卡尔于1637年提出。
先将四次方程化为x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0的形式。
令x=y-a/4 整理后得到y^4+py^2+qy+r=0 （1）
设y^4+py^2+qy+r=(y^2+ky+t)(y^2-ky+m)=y^4+(t+m-k^2)y^2+k(m-t)y+tm
比较dy对应项系数，得t+m-k^2=p，k(m-t)=q，tm=r
设k≠0，把t和m当作未知数，解前两个方程，得t=(k^3+pk-q)/(2k)，m=(k^3+pk+q)/(2k)
再代入第三个方程，得((k^3+pk)^2-q^2)/(4k^2)=r 。即k^6+2pk^4+(p^2-4r)k^2-q^2=0
解这个方程，设kο是它的任意一根，tο和mο是k=ko时t和m的值那么方程（1）就成为
（y^2+koy+to)(y^2-koy+mo)=0
解方程y^2+koy+to=0和y^2-koy+mo=0就可以得出方程（1）的四个根，各根加上-4/a就可以得出原方程的四个根。

luyuanhong

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luyuanhong 发表于 2022-10-18 10:12

哇！！！非常感谢大佬的解答！！非常感谢！！！

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Nicolas2050 发表于 2022-10-18 09:48
一般的四次方程还可以待定系数法解，这种方法称为笛卡尔法，由笛卡尔于1637年提出。
先将四次方程化为x^4+ ...

大佬的这个对我来说有点套高端了~~~