0<x;0<y 时 \(x^n<y^n\Rightarrow x<y\)这么证明对么？

wufaxian

xy都是实数，0<x;0<y 时 \(x^n<y^n\Rightarrow x<y\)这么证明对么？

有序域 F 是一个域，它也是满足下列公理的有序集：

O1. 如果 y < z，那么 任意x, y, z ∈ F, x + y < x + z．

O2. 如果 x > 0 且 y > 0，那么 任意x, y ∈ F, xy > 0．
推论：x<y 则 xz<yz

根据以上条件证明如下\(x^n<y^n\) 根据对数函数单调递增\(\ln x^n<\ln y^n\Rightarrow n\ln x<n\ \ln y\)
根据上方推论两边同乘1/n  得到lnx<lny,再根据ln是增函数，推出x<y

刚看了一些数学分析，对1+1=2都觉得需要证明一下。不知道以上证明在数学分析的角度是否成立。站在数学分析的角度，以上证明过程是否引入了一些未经证明的定理或性质！或者有逻辑断层？

liangchuxu

考虑过：n<0?

wufaxian

liangchuxu 发表于 2022-10-19 08:12
考虑过：n

没考虑n小于0。我在书中看到的是x<y，因此\(\sqrt{x}<\sqrt{y}\)   但是没给出过程，我看分析看的有点神经质了，所以觉得任何结论都不是理所当然的。因此才有了这个帖子。