怀尔德的公理化思想

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怀尔德的公理化思想

作者 | 刘鹏飞

怀尔德作为美国著名的拓扑学家，对数学基础问题有着深刻的理解，虽然曾在多篇文章和多个场合中强调自己是一个直觉主义者，[1]但他也高度重视公理化方法在数学研究、数学教学和创新人才培养过程中的作用，他关于公理化方法的优缺点、作用和对创新人才培养方面的论述，至今仍有重要的当代价值。


怀尔德

1、公理化方法的基本思想

怀尔德 1952 年出版了《数学基础简介》一书，[2]按他自己所强调的，这是他在密歇根大学数学系教授《数学基础》课程二十多年的成果，这门课程不是为本科数学专业毕业从事教师、保险精算师准备的，而是为了那些将来离开大学后打算终身从事数学研究的人，而他们又缺少现代数学知识和数学基础理论。该书将公理化方法作为全书的基础性理论提出，怀尔德指出，数学家们现在理解和实践的公理化方法是人类思想长期进化的结果，我们在讨论公理化方法之前，应先简要说明“公理”这个术语一些较早的用法。我们从初中几何开始就使用的两组基本假设：一组叫做“公理”（Axiom），另一组叫做“公设”（Postulate），几何书中会这样解释“公理是自明的真理（Anaxiom is a self-evident truth）”，而“公设是几何事实（A postulate is a geometrical fact）”。它们因为非常简单和明显，而被认为是“真”的。他引证了亚里士多德的论述：每一门论证性科学必须从不可证明的原理开始；否则的话，证明的环节将没有尽头，关于这些不可证明的原理，有些是（a）所有的科学所共有的。其他（b）是独有的，或者是特定的科学所特有的。共有的原理（a）是公理，公理的最常见例子是“如果从等量中减去等量，则余量相等”。在（b）中我们首先要有“类”或者“内容”，而且必须假设它们的“存在性”。



怀尔德指出，亚里士多德以及或许同时期的其他学者，对论证性科学的本质已经有很好的理解。而且数学命题的逻辑推理在柏拉图学派很常见，或许在毕达哥拉斯学派中也是如此。然而，欧几里得著作《原本》的影响巨大，西方历史上可能没有其他的文献曾经对科学思想产生如此巨大的影响。例如，现代中学几何学通常是以欧几里得的名著为范本，还有在非数学类文献中，使用诸如“……是不证自明的”和“这是……的基本公设”等词语，以表示某些事物是“普遍的”或“无可反对的”之意，也是这种数学术语的传统用法。

怀尔德指出，“公理化方法”首先要给出一组有待研究概念（诸如平面几何学）的基本陈述，使用一些未定义的技术词项以及经典逻辑词项。通常对所给逻辑词项的含义不作描述，既不陈述它们的使用规则，也不陈述允许用于定理证明的方法（或许这些省略会成为公理化方法的弱点）；基本的陈述被叫做公理（或她的同义词“公设”）。规定从公理（公设）到定理的证明中，可以使用经典逻辑的“矛盾律”和“排中律”，于是“归谬法”成为常用的证明方法。关于公理和从其证得之“定理”的陈述，被称为隐含于或推之于公理。[3]

怀尔德在对公理化方法相关内容的历史评论中，评论了著名数学家维布伦博士论文中公理化方法的错误，维布伦 1903 年在数学家巴什、皮亚诺、希尔伯特、皮耶里等人以往理论的基础上构建了一个三维欧氏几何的公理系统，[4]但是却基于两个完全未定义的词项“点”和“序”，数学家塔斯基最先发现并指出了维布伦的逻辑错误，[5]怀尔德对此评述道，因为“全等”的概念中包含了“点”和“序”，结果就会造成包含相同点以及点之间相同序关系的公理系统。

怀尔德通过例子详细阐述了公理的来源、定理的证明，并指出如果把欧几里得平行公理替换为它的一个否定陈述，于是从欧几里得几何的公理中导出一个非欧几何的公理系统；这是可以获得新公理系统的方法和例子。一般来讲，我们可以挑选一个给定的公理系统，并以适当的方式改变其中一条或多条公理，以导出一个新的公理系统。当然，当一个系统挑选了未定义词项和原始命题（或公理）后，它会面临至少三个相关问题：一是这个系统适合于设定它的那个目标吗？二是系统中的公理是否真正独立，即它们中的任何一个是否可以用其他公理来证明（如果是这样，那这条公理或许应该从系统中剔除，并转入待证明的定理集合）？三是这个系统是否隐含了矛盾的定理（如果是这样的话，这个缺陷必须先设法消除，才能使用这些定理）？在这三个问题中，关于矛盾性的第三个是目前数学领域最基本和关键的问题。因此，需要详细讨论公理系统的相容性、公理系统一致性的证明、公理的独立性、公理系统的完备性、未定义词项的独立与完备性、等价公理等问题。

关于公理化方法的优点，怀尔德认为第一个优点就是“经济性”，在很多现代数学分支中是一种“节省人力的手段”，如果一个数学分支中有我们公认的预先建立好的公理系统模型，那我们就有可能看到新的可能性，因为有些知识已经预先包含在之前研究过公理系统当中了。公理化方法不仅实现了经济性，而且在任何可能解释的已知公理系统中都会带来新启示。第二个优点是隐性定义的特征，虽然数学概念的起源和发展可能会沿着完全不同的路线行进，一旦某些数学概念成熟，它的公理化特征可被证明是极其有利的。例如，实数系统的发展，作为现代分析的基础，缓慢进化了好几个世纪。今天我们能给出实数精确的公理化定义并利用基于公理的定理研究其性质。还有一个跟上述优点有可能相关的优点就是当我们基于公理系统证明定理的时候，总有数学学生宣称如果我能知道怎么假设，我就能证出这个问题，这样我们就可以给学生提供一个公理系统，给他一个证明的出发点，因此，基于这个理由公理化方法在培养学生成长方面是非常有益的教学手段。

关于对公理化方法的反对及其缺点，怀尔德认为“没什么事物是完美的”，公理化方法也不例外。对公理化方法批评最多的是经常使用和依赖逻辑，不仅仅是亚里士多德的逻辑规则，而且包括逻辑词项事先假定的普遍性。一些数学家反对公理化方法高度形式化的特征，特别是其将未定义的词项作为基础，基本假设（公理）和逻辑演绎在没有任何解释下可以进行。他们当然认为形式化是好的，但在很多情况下完全依赖其进行判断，特别是在其使用过程中有些走的太远了，例如将 1、2、3 等整数作为未定义的词项。显然，这种方法不适合尚未发育完全的学生头脑。很多数学家和教学人员认为在教高中生几何概念时，更好的方法是让学生“观察”，形式化的基本概念他们来说只是浪费时间。但也有数学家，可以肯定的是他们支持所有的数学都应该有公理化基础，这并不意味着他们要求给全部数学提供一个单一的公理系统（这当然也是不可能的），事实上正如我们所常见的，能有五个数学家一致同意同一个数学定义都是一种奇迹。但很多数学家断言，数学的每一个分支或其中的部分都应该被公理化。

2、公理化方法的作用

1965 年 2 月 6 日，美国数学协会（MAA）在加利福尼亚的圣马特奥学院（College of San Mateo）举办会议，怀尔德作了题为“公理化方法的作用”的报告。[6]他回顾了公理化方法从古希腊开始，直到 19-20 世纪现代数学发展过程中所扮演的重要角色，古希腊数学家运用公理化方法只是为了给数学提供一致性基础，而 19-20 世纪的公理化方法让现代数学的抽象性增强了。他举了在数学基础研究中公理化方法作为例子，戴德金、魏尔斯特拉斯、康托等人关于实数连续性结构研究强调了集合理论思想，是怀尔德称之为“遗传的力量”，从数学进化论的角度，连续统假设是从实数连续性问题自然进化过来的。尔德强调了公理化方法在集合论进化过程中扮演的重要角色。但他也诚恳的重申，他不是认为公理化方法是集合论或者逻辑理论建立的必然途径，而且他再次强调自己是个直觉主义者。

怀尔德根据形式化程度，讨论了三种类型的公理化方法。第一种类型被他称为“欧几里得型”的，类似于欧几里得《原本》中的方法，原始的术语不被视为未定义的，且只描述了一个模型（物理的或者社会的世界），目的是阐述模型的基本性质和关系。最著名的例子，如牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺莎的《伦理学》。怀尔德认为公理化方法在现代社会科学中运用匮乏可能有两个原因，一是这些科学就是臭名昭著的缺乏理论，二是缺乏适当的结构模型。怀尔德认为，就数学理论而言，“欧几里得型”的公理化方法在数学思想的进化中扮演了重要的角色之后，现在可能已经没有生命力了。但它可能会继续在那些没有数学这样古老、有着珍贵遗产的其他学科领域发挥重要的作用。

第二种类型的公理化方法，是大家在数学研究与教学中熟悉的，被用于称之为“工作的数学家型”的。很小心地列出原始术语，但既没有列出应该遵守的逻辑规则，也没有列出应该遵守的集合论规则，因此用“朴素的公理学”来形容。对于逻辑和集合论规则我们采取的操作类似“绝对主义”或“柏拉图式的”观点。这种方法是现代数学各分支研究的基本工具，特别是代数、拓扑和分析，它在很大程度上是现代数学日益抽象的原因。这种方法也扮演了越来越重要的教学角色，例如，数学家莫尔（E. H. Moore）等人在“新数学运动”教学中的广泛应用，而其第一个产品就是数学家莫尔（R. L. Moore）以及其所倡导的“公理化式”教学方法。

第三种类型的公理化方法，不仅讨论逻辑是必备的，而且是明确的形式化，已被证明是现代数学基础研究的主要工具之一。例如，哥德尔基于可构造集合的概念对广义连续统假设与集合论其他公理的兼容性证明，如果我们使用公理要求所有集合都是可构造的，那么广义连续统假设就成立了。但我们现在从保罗·科恩的工作中知道，广义连续统假设本身是一个比可构造公理更弱的公理。当然，只要在集合论的公理中加入广义连续假设，就能得到所有需要的东西。对此有两种反对意见，一是它缺乏与集合论其他公理相关的直觉特征，二是它缺乏动力，因为到目前为止它产出的数学成果太微薄了。

怀尔德认为，现代数学尽管抽象，但看起来越来越像应用科学。当应用科学家使用“欧几里得型”的公理化来分析和描述物理或社会环境中的概念模型时，他就是从感知诱导的概念中推导出公理的。当“工作的数学家型”使用所谓“朴素的”公理化方法，他是从一个直觉诱导的概念推导出公理，他的数学直觉已经感觉到一个重要的结构或模式。最纯粹形式化的第三种公理化方法类型，使逻辑学家能够分析我们的逻辑方法和集合理论，以及在所谓“朴素的”公理化中被认为是理所当然的事情。尽管公理化方法有一定局限性，尽管它未能证明由皮亚诺、希尔伯特和其他先驱者最初设想的数学基础问题，但公理化方法还没到鼎盛时期的尽头，也许它最大的荣耀还没有到来。它作为分析抽象数学结构和研究我们直觉所提供的方法与结构的工具，在教育学中的作用不断扩大，也许只是一个它能发挥更基本作用的预兆。尽管公理化方法似乎无法填补为数学基础提供自由直觉的作用，但它将继续是我们创造新数学和数学教学最有效的工具之一。

3、公理化方法与创新人才的培养

1957 年 12 月 26 日至 1958 年 1 月 4 日，在加州大学贝克利分校举办的“公理化方法”国际学术会议上，怀尔德做了题为“公理系统与创新型人才发展”的大会报告，他开篇即指出：一段时间以来，我一直觉得应该有人描述一种基于公理化方法的重要教学方法，这次会似乎是一个合适的场所。[7]事实上，一个很好的先例就是已故的美国数学会主席莫尔（E. H. Moore），他把退休后的很大一部分时间都用在研究中小学数学教学中越来越多的使用公理系统之作用。怀尔德回顾公理化方法的历史发展，在过去 50 年左右的时间里，数学学科大量使用公理化方法作为研究工具，这种方法的使用被认为是现代数学发展过程中最突出和最令人惊讶的现象之一。

怀尔德指出，不到半个世纪前，庞加莱这样伟大的数学家就在一篇题为《数学的未来》的文章中，仅仅用不到半页的时间来讨论公理化方法。希尔伯特虽然承认使用这种方法的辉煌，但他预测公理化方法为数学的各个领域提供基础问题将是非常“受限制的”，而且可能不需要很长时间就不会再有什么事情可做了。外尔在为埃米·诺特写的传记中更是毫不客气指出公理化方法的发展前途已近枯竭。[8]怀尔德认为庞加莱的预言和外尔的恐惧都没道理，因为他们都没有意识到公理化方法的新用途之一是作为一个“有力的创造性工具”。他指出外尔还是比较幸运的，能够活着看到公理化方法在现代数学发展历程中的胜利，如果庞加莱能活着看到这种方法是如何促进数学进步的，他也会乐意承认自己预言的缺陷。

怀尔德指出，现代数学的进化正朝不可避免要广泛运用公理学方法的方向发展着，这是每一个现代数学家所熟悉的。这种方法作为开辟大量数学研究新领域的工具性价值，就像它在代数和拓扑中所做的那样，还没有恰当的例子给数学公众留下深刻的印象。在本世纪初活跃的数学家中，似乎没有人比美国数学家（E. H. Moore）更清楚这一趋势。莫尔对公理化的兴趣和使用是众所周知的，对小学数学教学产生影响。在他指导下的数学家莫尔（R. L. Moore）和维布伦也都是在几何公理基础上写的博士论文，后来的兴趣转到了几何学的分支拓扑学上，尽管那时候拓扑学还叫“位置分析”。而且非常有趣的是，二人遵循的是不同的发展路线，维布伦遵循的是庞加莱发展起来的“代数拓扑”路线，而莫尔遵循的是康托和舍恩弗利斯发展起来的“点集拓扑”路线。后来，点集拓扑学理论自然而然地走上了莫尔（R. L. Moore）所发展的公理化路线，而代数拓扑最终也走上了公理化发展的道路。

怀尔德认为更为重要是的，我们这些习惯在构建新理论或其他技术创新过程中使用公理的人，可能已经忽视了这样一个事实：即公理化方法可以作为最有用的基础教学手段。他的导师莫尔（R. L. Moore）用他的公理系统进行平面位置分析的方式，来发现和培养创造性人才。“莫尔的方法”从几个有限的公理和定义开始，然后他会提出定理，让参与者来寻求证明。[9]怀尔德指出自己在代数和拓扑学的研究生课程中，也使用导师莫尔的公理化教学方法。他把莫尔的方法总结为七条：（1）选择那些有能力（通过个人接触和历史了解到的）处理研究所需材料的学生；（2）控制参加群体的规模，四到八个学生可能最合适；（3）提供适量的直观性材料，作为证明建构的辅助手段；（4）由学生自己按照公理化发展的理想方式去坚持严格的证明；（5）鼓励良好和善的竞争；它可能发生在课堂上学生给出定理的尽可能多的证明之时；（6）强调方法而不是主题事项。主题所涵盖的数量因班级规模和个别学生的素质而异；（7）选择最适合该方法的材料。通过上述一系列系统的方法实施过程，很快就可以判断并向老师揭示学生是否具备数学天赋。

怀尔德指出本科教学就应该运用这种公理化教学方法，今天我们听到很多关于鼓励年轻学生从事数学或科学职业的言论，然而不幸的是在本科训练早期，数学失去很多潜在的创造性人才，这其中很大程度上是由于传统教学呈现模式造成的。公理化方法至少有可能为这一问题提供部分解决办法。怀尔德认为美国教育系统中最大的错误之一就是低估年轻学生抽象思考的能力。结果是，我们强迫他们“现实地”思考，实际上他们更愿意“抽象地”思考，所以当他们开始研究生工作的时候，抽象能力已经变得非常迟钝，我们必须尝试重新发展它。怀尔德还列举了迈阿密大学运用莫尔方法进行了教学实验的例子，当然这些试验还在进行阶段，希望看到更有效的试验报告。怀尔德还引用了莫尔（E. H. Moore）的观点，建议在高中课程中创造性的运用公理化方法。当然，怀尔德也希望自己对公理化方法没有过分的强调，不要给人的印象是他认为公理化方法是万能的。他也不认为所有的课程都应该是公理化的。但怀尔德相信，公理化方法过去 50 年中在数学研究方面取得的巨大进步，而且在很大程度上也可以在数学教学中找到相似之处，从初级教学到与前沿数学接轨的特殊衔接时期里，运用这种方法是非常明智的教学策略，将有利于发现和发展当前数学失去的许多创造性人才。

作者简介：

刘鹏飞，长春师范大学教授，中国数学会数学史分会常务理事、吉林省数学教育研究会理事长。

参考文献

[1] Wilder, R. L. The nature of mathematical proof[J]. Amer. Math. Monthly. 1944, 51: 309-323.

[2] Wilder, R. L. Introduction to the Foundations of Mathematics[M]. New York: John Wiley & Sons, Inc.1952: 100-115.

[3] Wilder, R. L. Axiomatization. In: The Harper Encyclopedia of Science[M]. Ed. By Newman, J. R. Harper and Row, New York, 1963:128.

[4] Veblen, O. A System of axioms for geometry[J]. Trans. Amer. Math. Soc. 1904, 5: 343-384.

[5] Tarski, A. A General theorem concerning primitive notions of Euclidean geometry[J]. Indag.Math. 1956, 18: 468-474.

[6] Wilder, R. L. The role of the axiomatic method[J]. Amer. Math. Monthly. 1967,74:115-127.

[7] Wilder, R. L. Axiomatics and the development of creative talent. In: The Axiomatic Method: With Special Reference to Geometry and Physics[M]. Ed. by L. Henkin, P. Suppes, and A. Tarski. Amsterdam, North-Holland, 1959: 474-488.

[8] Weyl, H. Emmy Noether[J]. Scripta Mathematica, 1935, 3: 1-20.

[9] Burton, J. F. The Moore method[J], Amer. Math. Monthly. 1977, 84: 273-77.