布加耶夫：莫斯科数学学派的奠基人

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布加耶夫：莫斯科数学学派的奠基人

作者 | 徐乃楠（吉林师范大学数学学院）

摘要: 布加耶夫是 19 世纪末 20 世纪初俄罗斯著名的数学家、哲学家，是莫斯科大学哲学与数学学派的创始人。他在数学研究中针对“分析学”中的连续函数思想，提出了一种“算术学”的间断函数思想，并形成他的“算术化”数学哲学和“进化单子论”哲学思想，为数学和力学后续发展中的稳定性理论、动力系统理论、分岔和突变理论奠定了坚实的思想基础。

关键词: 布加耶夫; 数学哲学; 莫斯科大学

中图分类号: N031   文献标识码: A

尼古拉·瓦西里耶维奇·布加耶夫（Николай Васильевич Бугаев，Nicolai Vasilievich Bugaev，1837— 1903）是俄罗斯现代历史上一位著名的数学家、哲学家，他被誉为莫斯科大学自然科学领域系统方法的奠基人，“莫斯科哲学与数学学派”（Московская философско － математическая школа）的创始人。[1]对 20 世纪享誉世界的莫斯科大学数学学派的形成做出开创性和奠基性贡献。他毕其一生都对数学哲学、科学哲学方法论以及一般性的哲学问题怀有浓厚执着的兴趣，他创立的“算术化”哲学思想对俄罗斯 20 世纪的数学和哲学发展影响深远。


布加耶夫

一、布加耶夫的数学思想

布加耶夫的数学哲学是建立在其深刻的数学研究基础之上的，他对数学研究的思想贡献主要在分析和数论领域。1855 年，布加耶夫进入莫斯科大学的物理和数学系本科学习。1863 年，完成题为 “无穷级数收敛性”的硕士论文。之后他决定出国留学以完成博士学业。[2]在两年半的时间里，他在柏林和巴黎跟随数学家库默尔（E． Kummer）和魏尔斯特拉斯（K． Weierstrass）学习。1866 年，他提交了博士论文“与数字 E 性质相关的数值恒等式”，发表在莫斯科数学学会主办的《数学汇编》杂志第一卷中。[3]他还完成了数学家刘维尔（J． Liouville）没能证明的定理证明工作。布加耶夫正是在刘维尔的影响下，最终形成他的一种“算术化”数学哲学思想。


库默尔

1867 年，布加耶夫被任命为莫斯科大学教授， 1887—1891 年间担任系主任。他还是莫斯科数学学会的创始人之一，1886 年任副主席，1891—1901 年间任主席。他在莫斯科大学教授过数论、有限差分运算、变分运算、椭圆函数理论等课程，他也是最早在俄罗斯的大学里开设分析函数论课程的[4]，他在莫斯科大学最重要的教学影响之一是在其去世八年后的 1911 年，他的学生叶戈罗夫（Д． Егоров）发表关于可测函数几乎处处收敛和一致收敛关系的定理（叶戈罗夫定理），创立了享誉世界的莫斯科大学“实变函数”论学派。

在分析学领域，布加耶夫发展了数学家柯西 （A． Cauchy）的数学思想，创立了共轭级数理论。1888 年 11 月 15 日，在莫斯科数学学会的一次会议上，布加耶夫做过一个“级数收敛理论”的学术报告，其中证明了叶尔马科瓦（В． Ермакова）特征是共轭级数思想的必然结果。布加耶夫还撰写过“关于波普尔收敛规则”的论文[5]，在这项工作中他使读者了解他于 1865 年提出的波普尔特征，以及德国数学家施勒米尔希（O． Schl?milch）的相关证明及其改进。

布加耶夫对分析学的思想贡献正如数学家叶尔马科瓦所评价的: “布加耶夫关于无穷级数收敛性的研究是极其出色的数学研究工作，共轭级数定理是他研究工作的一个总开端，不仅可以得出无穷级数理论到目前为止提出的所有性质，而且还可以得到无穷多个其他性质。”[6]当然，需要指出的是布加耶夫当时在给出共轭级数定义为“同时收敛和发散”的级数时，不准确地表达了自己的想法，因为人们可能会认为，任何给定级数都可以同时收敛和发散，“和”一词最好用“或”代替。[7]

布加耶夫最大的数学贡献还是在数论领域，其中蕴含的数学思想对其哲学思想的形成有显著影 响。1865 年，在他被选为副教授时曾发表过题为 “数论概论”的演讲，演讲中他从对数论发展的简要历史回顾开始，对纯数学中数论的内容、地位和方法表达了自己的独到见解。他首次提出对数论这一数学分支的个人看法，即数论作为一种“不连续函数的理论”。他特别指出，在数论中就数值函数的本质而言，是没法用分析学中的通用方法进行理解的，尽管对某些类型的数值函数，我们可以给出通用的连续方法。关于数论的重要性，他认为“数论优于数学的所有部分，有利于培养人的理性并促进一个数学家独特的数学悟性。”[8]基于对数论中的运算和分析中微分、积分运算的类比，他还建立了数值微积分理论。[9]

布加耶夫的数值函数理论得到当时著名数学家的认同，在莫斯科数学学会珍藏的布加耶夫档案中，发现一封 1872 年 9 月 11 日数学家库默尔写给布加耶夫的信，这位德国科学院院士写道: “我对您的数值函数理论以及优美的证明非常感兴趣。”布加耶夫还把这种“算术化”思维运用到国际象棋计算中，他是位高超的国际象棋手，当时他经常表达这样的想法，即国际象棋的规则可以用数学计算来表述。他指出将“车”从零点移动到点 n 的不同方式（仅在移动顺序上不同的方法除外）的数量，由不定方程的正解数量来确定，而欧拉（L． Euler）公式给出一个快速解决不定方程正解个数问题的可能。[10]

可以说，布加耶夫对数论、数值函数研究所体现的深刻数学思想是他建立数学哲学最原始的思想基础，并与他引入的独创性术语———“算术化” （Аритмология）一词密切相关。这个词在布加耶夫的数学思想中有双重的特殊含义: 首先是相对于“分析学”中连续函数的一种关于“不连续”函数 （间断函数 ）的学说，他称之为“算术学” （Аритмологией）。其次是一种基于“不连续性”思想的哲学世界观，即“算术化”的世界观。[11] 19 世纪是数学分析建立起严密基础的伟大时代，不连续函数通常被数学家们认为是可怕而令人厌恶的，如法国数学家厄米特（C． Hermite）当时就称不连续函数为“怪物”，应该说布加耶夫能深刻认识“不连续函数”理论并进行“算术化”理解，在当时那个时代里是难能可贵的。

二、布加耶夫的“算术化”数学哲学

在 1869 年的演讲“数学作为科学和教学的工具”中，布加耶夫提出了一个特别论断，旨在解释从数学问题向哲学问题过渡的自然性和必然性。他将这种转变与数学所特有的严格演绎性联系起来，这种不断关注推理严格性和有效性的泛化趋势，不由自主地迫使数学家们转向对正确思维技术和方法的一般性研究。布加耶夫指出，关于知识的局限性、思维的性质以及可靠性的哲学任务同样出现在研究舞台上，而数学是哲学科学领域的第一步，数学能将外部（物理）世界和内部（道德）世界的科学联系起来。他认为“数学家通常是由自然科学家、 数学家和哲学家共同组成的，这是很自然的事情。他抱怨大学内部的教职部门给大家造成了一些不便，干扰了各个知识领域间的自由互动。”[12]所以他在 1894 年纪念莫斯科数学学会成立 25 周年的演讲中说: “数学家应该是文化水平很高的哲学家，而不只是有学识的会计和计算员。”[13]

1897 年于苏黎世举行的第一届国际数学家大会上，作为大会副主席之一的布加耶夫做了题为 “数学与哲学世界观”的报告，集中展现了他的数学哲学思想。[14]在这一报告中，布加耶夫认为哲学世界观要依赖于纯数学，真正的科学和哲学世界观本质上源于对数学的全面应用。科学的结论力求准 确性和确定性，这种准确性和确定性是通过应用数字和度量来实现的。科学一旦需要进行测量，数学就会有用武之地，这也决定了为什么数学对人类现代生活至关重要。数学是一门研究定量变化现象的科学，定量变化思想是数学的基本思想，变量可以独立变化，也可以根据其他量的变化而变化，分别称为自变量和因变量，二者之间的关系也可以叫函数。变量可以是连续的，也可以是不连续的。函数也可以分为连续的和不连续的，连续函数的理论 通常被称为“分析学”，不连续函数的理论被他称为 “算术学”。那么纯数学就可以分为两个大部分: 连续性理论和不连续性理论。布加耶夫认识到连续性是虚幻的，而现实是不连续的。在现实的科学问题中，不连续性比连续性要多样化得多，使用不连续性多种多样的形式将导致这样的必然事实，即算术化的科学问题通常比相应的分析问题要更复杂和更困难。

布加耶夫认为数学的基础是函数论，几何学和概率论则起次要作用，但都是构成科学世界观的基本要素。概率论在分析复杂现象，尤其是社会理论和社会现象时是非常必要的。俄罗斯数学史家德米多夫（С． Демидов）认为布加耶夫在 1897 年就能将概率论作为纯数学的组成部分非常不容易，因为 1900 年巴黎举行的第二次国际数学家大会上，数学家希尔伯特（D． Hilbert）著名的大会报告也只是将概率论作为第六个问题而列入物理学科。德米多夫认为布加耶夫关于数学哲学的研究工作有助于莫斯科大学建立真正的实变函数论学派，一是他充分考虑了数学的广阔哲学背景，二是他能从函数理论视角来理解数学，尤其是着重研究了不连续函数，三是他从概率论在社会科学中的应用视角，赋予概率论以重要的作用。布加耶夫的哲学引领在莫斯科数学家中创造了一种普遍对哲学感兴趣的学术氛围，他的学生叶戈罗夫等人也都对哲学非常感兴趣。他的数学哲学观点对莫斯科实变函数论学派的诞生产生了重要的奠基性影响。[15]


德米多夫（С． Демидов）

布加耶夫对在他之前大行其道的基于连续性思想的“分析性世界观”进行了批评，并呼吁以“算术化的世界观”作为补充。由于 19 世纪分析学基础严密性的最终建立，连续函数相关性质得到不断完善，分析学使得数学家们倾向于考虑光滑连续的变化过程，而对不连续的、跳跃式的变化则视为异类。布加耶夫认为分析学“连续化”的数学哲学观 以能够处理普遍性真理而著称，但“算术化”的数学哲学观则善于处理独特的个性化问题。不连续思想是个性化和独立自主的表现形式，在伦理学、美学、创造力等个性化行为研究中，分析学的连续性哲学无能为力，其中自由意志和机会概率占据主导地位，“算术化的世界观”反而更能发挥重要的作用。

当然，布加耶夫承认连续性和不连续性虽然是两个不能相互简化的数学概念，但不是绝对对立的，只有将这两个概念综合考虑在内，才可能对数学事实有完整的理解，二者并非是相互矛盾的，而应在这一对概念之间建立起和谐的关系，这在函数概念与性质尚不完善的 20 世纪初是难能可贵的。同样，他认为在逻辑学、心理学、历史学、哲学和社会学领域，普遍性和特殊性、抽象性和具体性、个体性和社会性、知识性和艺术性也都是相互补充的。用现代科学哲学视角研究布加耶夫的哲学著作和他的方法论，我们可将其方法论与丹麦著名物理学家波尔（N． Bohr）的互补原理进行比较[16]，布加耶夫连续和离散互补概念所体现的数学互补性原理，也为其“进化单子论”的一般哲学奠定了思想基础。

三、布加耶夫的“进化单子论”哲学

布加耶夫通过“算术化”的数学哲学，提出数学应基于不连续函数的理论，那么哲学也应该基于特殊的“单子论”。他认为这个世界虽然是个整体，但却由一个个独立的个体组成。分析学连续性的哲学世界观在讨论社会性概念时，总是考虑所有事物中“进化”的一面，而“算术化”的哲学世界观则侧重于历史过程的突变性质。他曾经研究过康德、黑格尔、莱布尼茨、洛克、休谟等人的一般哲学思想，也对密尔、赫伯特、斯宾塞的哲学思想进行过评论，他承认自己的哲学思想发展主要受到莱布尼茨哲学的强大影响，把莱布尼茨作为自己哲学思想的先驱。他表示自己非常理解并同情莱布尼茨的哲学思想[17]，并在莱布尼茨哲学思想的基础上提出一种 “进化单子论”的哲学原理，据他儿子、俄罗斯著名 的诗人和散文作家安德烈·贝利（Б． Андрей）在回忆录中的记述，他父亲这里的“进化”一词不应按斯宾塞的社会“进化论”角度理解，而应该从莱布尼茨的“单子论”视角理解。[18]

1893 年，布加耶夫在《哲学与心理学问题》杂志上发表了《进化单子论的基本原理》一文，在此文中他给出一个引言和 184 个独立段落，除了第 5 个段落较长之外，每一段内容都非常短小精悍。在第 1 － 10 段里，布加耶夫根据自己的理解定义了单子， 他认为单子不仅是抽象的，而且在某些方面具有永久性、完整性和不可分割性。在第 11 － 19 段里，他对单子进行了分类，指出自己的单子与莱布尼茨的单子完全不同，他的单子不是真实世界的物体，而是一种特殊的抽象。在第 20 － 28 段中，布加耶夫讨论了各种单子的相互作用。在第 29 － 50 段中，他引入了复杂单子（特别是双子）的概念。在第 51 － 66 段中，他讨论了复杂单子（特别是双子）的相互作用。在第 67 － 72 段中，他讨论了单子的两条定律: 单子惰性定律和单子和谐定律。在第 73 － 84 段中， 他讨论了单子所构成的复合物。在第 85 段，他强 调守恒定律是成立的，单子及其复合物的完善性和 复杂性不断提高。布加耶夫在随后的段落里，对人类进步充满信心，基于进化单子论的思想，阐述了和谐、道德和爱等概念。他声称，在他的进化单子论世界观中，科学与历史、精神与物质、泛神论与个人主义、自由与必要性是协调一致的。布加耶夫在文章的结尾说: 一个人不能像无灵魂的石头那样由原子随机组合而成，而应是一座充盈自己生命和灵魂的艺术建筑、灵动的殿堂！[19]

应该指出的是，布加耶夫所构建的不再是莱布尼茨式的单子论，而且是一种进化的单子论，我们也不应该从静态的角度，而应从动态的角度去理解它。布加耶夫非常想在形而上学哲学研究中，力求达到数学家一样的作用。当然，布加耶夫显然没有看到或感觉到形而上学结构与自然科学中数学理论和数学模型的区别，他没有注意到与数学模型不同的是，形而上学结构的有效性不能通过经验来证明。此外，过去的哲学思想体系也不能像数学家使 用他之前证明过的定理一样去使用。每一位形而上学者都必须重新开始或“从零开始”，即使他所做的理论构造曾在某些方面提醒了别人。[20]

布加耶夫还是莫斯科心理学会的组织者和最活跃的成员之一，在 1889 年的文章《论自由意志》 中，他认为自由意志是个人自主性的基础，与法律、 道德、教育和社交密切相关，他认为自由意志受到了 19 世纪欧洲盛行的决定论哲学的威胁。他反对试图“基于一些抽象的考虑”来解决自由意志问题， 因为在抽象的表述中，自由意志问题将受到这些抽象表述的制约，自由意志问题的确切解决办法远远超出了人的力量和能力，即“超越性”问题。布加耶夫希望继续在“一个简单而易懂的理解范围内”讨论该问题，依靠“世界上最直接和最科学的观测”，依靠我们可以发现的“细心观察世界力量和现象的一般过程”[21]。他还讨论了意志和意识的关系问 题，他认为先有意识，才有意志。布加耶夫所主张的自由是特殊的，它是一种意志，一种坚强的、令人信服的意 志，不断激励着一个人，迫使他越来越努力。

应该看到，布加耶夫的性格特征和个性品质在其哲学世界观的形成和哲学思想演变中发挥了非常重要的作用。他热情、顽强，拥有惊人的毅力和意志力，他用自己的逻辑和直觉阐述其哲学思想， 无畏地放弃了传统的哲学词汇、术语和表达方式，使得他的哲学知识方法具有浓烈的个人主义特征。布加耶夫曾经自述自己的心路历程，“很难理解作者在研究不连续函数理论时必须克服的困难。关于这种理论的创立，在他之前几乎没有做过任何事情。他必须创造科学内容和科学研究方法。这种孤立也许是一些学者对他作品不专心的原因。作者会受到这样一种观点的支持：他所花费的努力不会浪费，迟早会带来结果。作者决定等待未来的公正评价，平静地面对有时公开的科学敌意，他会在不连续函数理论领域中不断探索科学真理，这一真理在现在和未来应用数学中将具有不同寻常的诱人性质和纯粹意义。”[22]


弗洛伦斯基

总之，布加耶夫的“算术化”数学哲学思想为俄罗斯 20 世纪数学和力学发展中的相关理论，如稳定性理论、动力系统理论、分岔和突变理论等奠定了坚实的思想基础。[23]他的哲学思想在莫斯科数学学会和莫斯科大学的教师、学生群体中传播广泛，不仅仅包括数学家，还包括其他社会文化领域的思想家。俄罗斯著名东正教神学家、哲学家弗洛伦斯基（П． Флорéнский）就深受布加耶夫哲学思想的影响[24]，弗洛伦斯基一生都坚持将数学作为建立其整体世界观的唯一基础，他读大学期间曾撰写过一篇论文，题为“将不连续性作为世界观的一个要素”，他在 1903 年撰写的简介中说这项工作是“对布加耶夫哲学思想的重新演绎”，在弗洛伦斯基等哲学家的极力推广下，布加耶夫的“算术化”数学哲学和“进化单子论”哲学思想成为 20 世纪初俄罗斯哲学思想中不可或缺的一部分。[25]

收稿日期: 2020 － 2 － 8

基金项目: 2019 年度国家自然科学基金数学天元基金项目“莫斯科数学学派研究”（11826402）。

作者简介: 徐乃楠（1979—），女，吉林长春人，教育学博士，吉林师范大学数学学院教授，主要研究方向: 数学史、数学教育与数学文化。

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