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发表于 2023-1-14 07:13
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题:巳知 \(f(f(x))=x^2-x+1\), 求 \(f(0).\)
解:将\(x=0,\,1\) 代入已知函数方程得:
\((1)\qquad f(f(0))=f(f(1))=1.\) 于是
\(\quad\qquad f(1)=f(f(f(1)))=f^2(1)-f(1)+1,\;(f(1)-1)^2=0,\) 即
\((2)\qquad f(1)=1.\) 进而 \(1=f(1)\overset{(1)}{=}f(f(f(0)))=f^2(0)-f(0)+1,\)即
\((3)\qquad (f(0)-1)f(0)=0.\)
\(\qquad\quad\)若\(f(0)=0,\)则 \(0=f(0)=f(f(0))=0^2-0+1=1,\) 矛盾!所以
\((4)\qquad f(0)\overset{(3)}{=}1.\quad\square\)
注记:我们并没有证明满足所论函数方程的函数 \(f(x)\)的存在性。
从所论函数方程解出函数的问题应该也很有趣。 |
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