在ΔABC外接圆上，弧ABC,ACB中点D,E，过AB切AC圆与过A,E切AD圆交于P，证：AP平分∠BAC

kekeroo

请问这道题怎么做？

波斯猫猫

好象是“远古”时的一个存题。

天山草

用 mathematica 写计算程序如下：



运行结果：

天山草

1. 
   
2. Clear["Global`*"];
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = b = 0; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = c = 1; a = (u^4 (v^4 - 1))/( u^4 v^4 - 1);
   
4. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = (v^4 - 1)/(u^4 v^4 - 1);  o = ( u^4 v^4)/(u^4 v^4 - 1);
   
5. \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = 1/(1 - u^4 v^4); R = (  I u^2 v^2)/(u^4 v^4 - 1);mAC = (a + c)/2;
   
6. \!\(\*OverscriptBox[\(mAC\), \(_\)]\) = (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\))/2; mAB = (a + b)/2;
   
7. \!\(\*OverscriptBox[\(mAB\), \(_\)]\) = (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\))/2;
   
8. W1 = {d, \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(d - o) (\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) -
   
9. \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\)) == R^2, (d - mAC)/(\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(mAC\), \(_\)]\)) == -((a - c)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)))}, {d, \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)}] // Flatten;
   
10. d = Part[W1, 3]; \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = Part[W1, 4];
    
11. W2 = {e, \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(e - o) (\!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) -
    
12. \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\)) == R^2, (e - mAB)/(\!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(mAB\), \(_\)]\)) == -((a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)))}, {e, \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)}] // Flatten;
    
13. e = Part[W2, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Part[W2, 2];mAE = (a + e)/2;
    
14. \!\(\*OverscriptBox[\(mAE\), \(_\)]\) = (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\))/2;
    
15. W3 = {o2, \!\(\*OverscriptBox[\(o2\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(o2 - mAE)/(\!\(\*OverscriptBox[\(o2\), \(_\)]\) -
    
16. \!\(\*OverscriptBox[\(mAE\), \(_\)]\)) == -((a - e)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\))), (o2 - a)/(
    
17. \!\(\*OverscriptBox[\(o2\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == -((a - d)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
    
18. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)))}, {o2, \!\(\*OverscriptBox[\(o2\), \(_\)]\)}] // Flatten;o2 = Part[W3, 1];
    
19. \!\(\*OverscriptBox[\(o2\), \(_\)]\) = Part[W3, 2];
    
20. W4 = {o1, \!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(o1 - mAB)/(\!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\) -
    
21. \!\(\*OverscriptBox[\(mAB\), \(_\)]\)) == -((a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\))), (o1 - a)/(
    
22. \!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == -((a - c)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
    
23. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)))}, {o1, \!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\)}] // Flatten;o1 = Part[W4, 1];
    
24. \!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\) = Part[W4, 2];
    
25. W5 = {p, \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(p - o1) (\!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) -
    
26. \!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\)) == (a - o1) (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\)), (p - o2) (
    
27. \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(o2\), \(_\)]\)) == (a - o2) (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) -
    
28. \!\(\*OverscriptBox[\(o2\), \(_\)]\)), p != a}, {p, \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)}] // Flatten;p = Part[W5, 1];
    
29. \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = Part[W5, 2];
    
30. Print["D = ", d, "， E = ", e, "， O2 = ", o2, "， O1 = ", o1, "， P = ",   p];
    
31. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\));(*复斜率定义*)
    
32. Print["\!\(\*SuperscriptBox[\(\[ExponentialE]\), \(2  \[ImaginaryI]\\[Angle]PAC\)]\) = ", FullSimplify[k[a, c]/k[a, p]],
    
33.   "，  \!\(\*SuperscriptBox[\(\[ExponentialE]\), \(2  \[ImaginaryI]\\[Angle]BAP\)]\) = ", FullSimplify[k[a, p]/k[a, b]]];
    
34. Print["因为 \!\(\*SuperscriptBox[\(\[ExponentialE]\), \(2  \\[ImaginaryI]\[Angle]PAC\)]\) = \
    
35. \!\(\*SuperscriptBox[\(\[ExponentialE]\), \(2  \\[ImaginaryI]\[Angle]BAP\)]\)，所以 \[Angle]PAC = \[Angle]BAP，即 AP 是 \
    
36. \[Angle]BAC 的平分线。  "]
    

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