在0.333……、1/3的问题上曹老先生比较接近真理

青山

曹老先生在《科普：无限、有限、极极、散发、收敛》第58楼跟贴：

无尽循环小数0.333…… 不是定数，它代表的是无穷数列0.3，0.33，0.333，……的简写，这个数列的极限是1/3. 于是：等式1/3=0.333... 不成立，成立的 只能是极限性等式 lim n→∞ 0.333……=1/3  或全能近似等

式 1/3~0.333……，后者表示一系列近似等式 1/3≈0.3；  1/3≈0.33； 1/3≈0.333； 1/3≈0.3333；……。

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青山认为，曹老先生的这一贴，与数学唯物主义已经比较接近了，因此特别给出下面的指正：


“无尽循环小数0.333…… 不是定数”
正确的说法是：无尽循环小数0.333…… 不是有理数。（自然数、有理数都是量子化的，只能表示静态的、已经完成的事物，不能表示连续的物质运动）

“它代表的是无穷数列0.3，0.33，0.333，……的简写，这个数列的极限是1/3.”
正确的说法是：无尽循环小数0.333…… 是无理数（无理数可以表示连续的物质运动，潜无穷），它表示一个点分别在位置0.3，0.33，0.333，……上的运动过程。 0.333... 所表示的是动态点，它可以无限接近定态点1/3，但是永远达不到1/3。

“于是：等式1/3=0.333... 不成立，”
正确的说法是： 0.333... 所表示的是动态点（无理数），1/3表示的是定态点（有理数），二者之间总是相差一个无穷小的间隙，于是：等式1/3=0.333... 不成立。

“成立的 只能是极限性等式 lim n→∞ 0.333……=1/3  或全能近似等”
同意曹老师的这个结论。（通过补充定义，即所谓的“极限理论”，可以人工规定 0.333……=1/3）

式 1/3 ~ 0.333……，
同意曹老师的这个结论。

后者表示一系列近似等式 1/3 ≈ 0.3；  1/3 ≈ 0.33； 1/3 ≈ 0.333； 1/3 ≈ 0.3333；……。
同意曹老师的这个结论。

青山

曹老先生发现0.333……与普通数不一样，这是对的。但他用形而上学的方式处理问题（他一直以为自己的方法是唯物的、辩证的），试图否定0.333……在数学中的地位，这是错的。

要想真正解决0.333……是否等于1/3的问题，涉及整个数学的基础，外科手术式的修修补补根本无济于事，必须对数学进行一番彻底的改造。而这种改造，除了依托马克思主义，其他任何方案都不可能成功。

青山

无尽循环小数0.333…… 到底是不是数，是多数网友包括我与曹、谢二位的主要分歧。

如果否定了无尽循环小数0.333……在数学中的合法性，同时也会否定传统无理数比如√2、圆周率π以及sin29°等等数量巨大的无理数的合法性。第一次数学危机的成果就会损失殆尽。

到底该不该否定这些数的地位？归根结底，要看它们是否具有现实意义，而不是所谓的”数学意义“。

那么，0.333……、√2、圆周率π、sin29°在现实中是否有意义呢？

有。

0.333……，表示一个动态的点，先后经过 0.3、0.33、0.333、0.3333、……，以前一步幅度10%的步伐，逐渐向前运动的一个动态过程。这一过程在逻辑上是合法的，在现实中是完全可以实现的，是任何人也不能阻止的。

√2 是边长为1的正方形的对角线长度。它不能用准确的小数表示，但可以用一个振荡的、收敛的、无限的动态过程无限逼近真实值。这一过程是：
大于1、小于2
大于1.4、小于1.5
大于1.41、小于1.42
大于1.414、小于1.415
大于1.4142、小于1.4143
大于1.41421、小于1.41422
大于1.414213、小于1.414214
大于1.4142135、小于1.4142136
……

圆周率π，与√2相似，它表示的是由运动而形成的圆的周长L，与其直径D的比值，即L/D，它不能用准确的小数表示，但可以用一个振荡的、收敛的、无限的动态过程无限逼近真实值。这一过程是：
大于3、小于4
大于3.1、小于3.2
大于3.14、小于3.15
大于3.141、小于3.142
大于3.1415、小于3.1416
大于3.14159、小于3.14160
大于3.141592、小于3.141593
大于3.1415926、小于3.1415927
……

可见，0.333……、√2、圆周率π 等无理数不是空穴来风，而是物质运动在数学中的反映。如果人类还想用数学来反映现实，就不能否定这些无理数。否定了这些数，人们就无法用数学来准确地描述客观事物，就会将数学与现实割裂开来，就会引导数学走上唯心主义的死路、邪路，就会让数学失去“确定性”。

因此，对0.333……、√2、圆周率π 等无理数的认识，不是简单的数学问题，而是世界观的问题，哲学问题，立场问题。反对这些数在数学中的合法地位，就是反对马克思主义。

青山

从前面的几贴可以看出，如果不推翻旧数学，就不能将无限循环小数 0.333…… 划入无理数，就无法将它与 √2、圆周率 π 等传统无理数联系在一起，就不能发现 0.333…… 在现实中的意义、就发现不了它的运动本性，就认识不到无理数与物质运动性的联系，就认识不到数学与现实世界的联系，最终会否认数学属于自然科学。

同样地，如果不反对曹老先生和谢芝灵老师，就会否定传统无理数在数学中的合法性，就会割裂数学与现实世界的联系，就会让数学走向唯心主义的深渊而万劫不复。

所以，在无限循环小数 0.333…… 这个看似毫不起眼的小问题上，我们既要反对唯心主义的 elim，也要反对形而上学的曹老先生。既要推翻旧数学，又要反对简单地修补旧数学。只有这样，才能让数学健康成长，我们人类才能得到真正的真理。