已知 \(a>b>0，求 (a^3 b-a^2 b^2+196)/(a b-b^2)\) 的最小值。

天山草

已知 \(a>b>0\)，求 \(\frac{a^3 b-a^2 b^2+196}{a b-b^2}\) 的最小值。

Ysu2008

【解】
\(\frac{\partial}{\partial a}\left( \frac{a^3b-a^2b^2+196}{ab-b^2}\right)=\frac{2a^3b-4a^2b^2+2ab^3-196}{b\left( a-b\right)^2}=0\)
\(\Rightarrow a^3b-2a^2b^2+ab^3-98=0\)   ……(1)

\(\frac{\partial}{\partial b}\left( \frac{a^3b-a^2b^2+196}{ab-b^2}\right)=\frac{196\left( 2b-a\right)}{b^2\left( a-b\right)^2}=0\)
\(\Rightarrow2b-a=0\) , 代入 (1) 式，得
\(\left( 2b\right)^3b-2\left( 2b\right)^2b^2+\left( 2b\right)b^3-98=0\)
\(\Rightarrow8b^4-8b^4+2b^4-98=0\Rightarrow\begin{cases}
b=\sqrt{7}\\
a=2\sqrt{7}
\end{cases}\)
代入原式，得
\(\min\left( \frac{a^3b-a^2b^2+196}{ab-b^2}\right)=\frac{\left( 2\sqrt{7}\right)^3\times\sqrt{7}-\left( 2\sqrt{7}\right)^2\times\sqrt{7}^2+196}{2\sqrt{7}\times\sqrt{7}-\sqrt{7}^2}=56\)

天山草

波斯猫猫

已知 a>b>0，求 (a^3 b-a^2 b^2+196)/(a b-b^2)的最小值。

思路：令t=(a^3 b-a^2 b^2+196)/(a b-b^2)，

则(t-a^2)b^2+a(t-a^2)b+196=0.  (显然t＞a^2)

∵  b>0，∴  关于b的判别式Δ≥0，

即a^2(t-a^2)-4×196(t-a^2)≥0，或t≥a^2+4×196/a^2.

∴  t ≥2√(4×196)=56 (此时a=2√7).