\(\Huge\color{red}{各类极限定义均要求\lim n\in\mathbb{N} }\)

春风晚霞

        在分析数学中形如\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\)(数列极限收敛定义）；\(s=\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_n\)(数项级数和的定义）；\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n\)(单调递减集合列极限集的定义）；\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\)(单调递增集合列极限集定义）以及《测度论》、《点集拓扑学》、…中的数学符号表达式\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\)中的n均表示自然数，若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，则这些具有明确意义的数学运算就根本无法进行，甚至得出与人类共识相悖的结论！故此在分析数学中亦必须要求\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！

春风晚霞

        根据Weierstrass数列极限的\((\varepsilon—N)\)定义：\(\forall\varepsilon>0，\exists\)\( N(=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\)\(\in\mathbb{N}\)，当n>N时，恒有\(| a_n-a |<\varepsilon\)，\(\iff\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\)中的限制性短语\(\color{red}{\forall\varepsilon>0，\exists N(=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\in\mathbb{N}}\)知\(\mathbb{N}_{\infty}=\{n|n> N(=[\tfrac{1}{\varepsilon}]+1)\}\ne\phi\)，且\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)!