23 岁的他，终结了千年来对三个古典数学问题的猜测，但他却被遗忘了一个半世纪

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23 岁的他，终结了千年来对三个古典数学问题的猜测，但他却被遗忘了一个半世纪

上帝创造了整数，其余都是人做的工作。——利奥波德·克罗内克，1886

来源 | 《不可能的几何挑战：数学求索两千年》

作者 | [美] 大卫· S. 里奇森（David S. Richeson）

译者 | 姜喆

1837 年，维多利亚女王即位，密歇根成为美国第 26 个州，芝加哥和休斯敦建市，电报诞生，笛卡儿的《几何学》也迎来了 200 岁生日。在法国，23 岁的皮埃尔·汪策尔发表了一篇 7 页长的文章，终结了千年来对三个古典问题的猜测。在这短短数页中，汪策尔证明了不可能三等分任意角、作任意正多边形或是倍立方。

迎接这一新闻的当然是喧天的锣鼓、主流新闻媒体的头条以及荣誉加身，对吗？大错特错！伴随着这个结果的是一片死寂。它不仅没有得到宣传，甚至连一个世纪之后的杰出数学家们都不知道谁证明了这些不可能性定理。即便是历史已经得到纠正的今天，汪策尔还是不为人知，被人低估。他的维基百科页面都不需要滚动条。

厚达 27 卷的《科学传记大词典》是一部简要描述具有影响力的科学家和数学家的生平及工作的学术著作，其中并没有汪策尔的条目。化学家詹姆斯·万科林之后就是物理学家埃米尔·沃伯格，中间跳过了汪策尔。

正如布赖恩·海耶斯所写，汪策尔“哪怕在那些数学世家中也算不上是个家喻户晓的名字”。

01  皮埃尔·汪策尔

皮埃尔·汪策尔的父亲出身于德国的一个银行世家。他在 18 世纪末搬到巴黎工作。他的儿子出生于 1814 年 6 月 5 日，而他在那三个月前就加入了法国军队。在服役七年后，他终于和家人团聚，并成为一位应用数学教授。

显然，汪策尔年轻时就显示出了自父亲那里继承的数学天分。汪策尔九岁时，他的老师（同时也是一位勘测员）就因为一个复杂的勘测问题向年幼的汪策尔求助。安托万·雷诺（1771—1844）是当时流行的教材《算术条约》的作者，他在汪策尔 15 岁时让后者校对该书的最新版。

但雷诺收获了预期之外的成果：汪策尔证明了一个常用但未经证明的平方根计算方法。汪策尔在校成绩优异，并因为“用超群的智慧让同学赞叹不已”而出名，“就像他凭借真诚而高尚的人格深受喜爱一样”。

汪策尔的学术兴趣和学术强项都很广泛。他可以熟练运用多种语言，例如拉丁语、希腊语和德语。正如加斯顿·皮内特所写，汪策尔“被赋予了极其活跃的想法，以及真正全面的天分……他投身于数学、哲学、历史、音乐以及辩论中，在各方面都展示出同样非凡的头脑”。

18 岁时，汪策尔在巴黎综合理工学院和巴黎高等师范学院理科的入学考试中都拔得头筹——这是史上第一次。他最终选择了巴黎综合理工学院。

20 岁时，他开始在巴黎路桥学院学习成为一名工程师。他就是在这时证明了这些不可能性定理。可能是因为这一成就，他“对朋友兴高采烈地说，自己不会成为一名平庸的工程师”，并且“他更愿意教授数学”。虽然完成了作为工程师的学业，他最后选择在巴黎路桥学院和巴黎综合理工学院执教。他还在其他地方成为很多学生的私人教师。

他的合作者圣维南（1797—1886）写道：

他的授课……因为清晰、稳健、极具洞察力和吸引力而享负盛名。没有人知道如何像他一样，温柔又有耐心地让听众默默注意自己。即便语速迅速，方法独特，谈吐流畅且从不大喊大叫，他也总能让人听懂……他的学生们崇拜他，敬重他。

但汪策尔承担了过多的工作。除了教学，他的研究领域也极其广博。他研究了尺规问题、根式理论、多项式方程可解性、空气流动以及弹性杆的曲率。他还要负责巴黎综合理工学院的入学考试。即便生病，他每天也要花 10 到 12 个小时监考。

这位拼命的数学家年仅 33 岁就过世了。圣维南写道：

他应该因为藐视那些友好而慎重的劝告而受到责备。他常在晚上工作，直到很晚才躺下；躺下之后，他还要看书，每天只睡几个小时，并且睡得并不安稳。直到结婚前，他都交替地滥用咖啡和鸦片，还不按时吃饭。他无限信任自己天生强健的体格，却又仿佛肆意嘲讽一般虐待自己的身体。他让那些悼念他英年早逝的人伤心不已。

汪策尔撒手人寰，撇下了妻子（他从前一位老师的女儿，两人于六年前结婚）、两个女儿和他的父亲。一同留在身后的，还有那些没来得及发现的数学结果。

我们再一次引用圣维南的文字：

（他的研究成就）与他本来可以凭借活跃的想象力、超凡的天赋以及对纯数学领域广泛而深刻的了解而取得的成就并不对等……我相信这主要是因为他不规律的工作习惯、他参与的过多工作、他那一直活跃、躁动不安的思维，以及对自己天分的滥用。

汪策尔更多的是临时计划做某事，而不是经过精心准备再动手：他可能没有给自己足够的空闲和必要的平静，好让他能驻足于同一事物。这一切都让我们不禁想象，要是他能多活几年，能改变生活习惯，能认真地研究这些积攒起来的问题，他应该就可以产出重要的成果，在科学界夺得凭他的数学天赋应得的地位了。

正如阿尔贝·拉帕朗雄辩地指出，汪策尔留下了“一条明亮的轨迹，但不幸的是，那轨迹太像天空中划过的流星，稍纵即逝”。幸运的是，我们得以一窥这明亮的轨迹：那就是汪策尔关于著名尺规作图问题的不可能性定理。

02  汪策尔定理

笛卡儿证明，可作图数是那些能用整数、四则运算和平方根表示的数。不幸的是，尽管这个结果很重要，但因为存在多种表示数的方法，该结果没有给出一个可以检查一个数是否可作图的标准。汪策尔给出了可供检查的标准，而它也是证明古典问题不可解的关键。

不可能性定理

至此，汪策尔把注意力转向了古典问题。在称得上是数学历史中最伟大的一页中（图 20.1），他证明了古典问题中的三个不可解。牛顿和爱因斯坦都有过“奇迹之年”。也许我们应该把汪策尔的论文的第 396 页称作“奇迹之页”（pagina mirabilis）。


图 20.1　数学史上最伟大的一页？(P. L. Wantzel, 1837,“Recherches sur les moyens de reconnaitre si un problème de géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas,”J. Math. Pures Appl. 2(1), 369; 已标出重点 )

03  震耳欲聋的沉默

皮埃尔·汪策尔给出了前三个古典问题的不可能性证明，但他的工作在很大程度上都被人忽略了，而且这个情况延续了将近一个世纪。古典问题可能是数学史上最著名的问题。我们可能会想，这些问题的解答（哪怕是否定的解答）都是值得注意，并且有新闻价值的。尤其是，汪策尔发表文章的期刊是当时的顶级期刊。但就算这样，他的工作也几乎立刻就被遗忘了。

在证明被提出 15 年后，知名数学家们仍然没有意识到这一结果。1852 年 12 月 18 日，威廉·罗恩·哈密顿爵士（1805—1865）给德·摩根写了一封信：

你确定不可能用尺规三等分角吗？我没有去悔恨在这问题上花费掉的任何时间，只是觉得，是一种直觉或是感觉，而不是一份证明，让我们认为这件事无法做到。毫无疑问，我们被三次代数方程影响了。但要是放在一个世纪以前，高斯的正十七边形碑文看起来不也一样无法用直线和圆完成吗？

德·摩根在平安夜回了信：

至于三等分角，高斯的发现让我更加不相信它的可能性。当 x^17-1 被分解为二次因式时，我们看到了使用圆形的作图如何产生效果。但是，在知道 ax^3+bx^2+cx+d 无法分解为实系数二次因式和一个线性因式的情况下，我无法想象一组圆相交如何能产生刚好三个不同的点。

丹麦数学家尤利乌斯·彼得森（1839—1910）在 1877 年的一本代数教材中证明了汪策尔定理，但他没有提到汪策尔。这让事情变得更加复杂。但是，他知道汪策尔的工作，因为他在自己的博士论文中提及了它。

1897 年，菲利克斯·克莱因（1849—1925）写了一本书，其名为《初等几何中的著名问题：倍立方、三等分角、化圆为方》。他在引言中写道：

（倍立方和三等分任意角的不可能性证明）暗含在伽罗瓦理论中，正如今天的高等代数论文中所呈现的那样。另外，除了彼得森的教材，我们没有见过其他明确的初等形式证明。

克莱因没有提到汪策尔。此外，他还错误地把作任意正多边形的不可能性证明归功于高斯，这让事态更加混乱：

在他的《算术研究》中，高斯扩展了这一系列数（2^h 、3 和 5）。他证明这种分割对所有形如 p=2^2^μ+1 的质数都是可能的，而对于所有其他质数以及它们的幂都是不可能的。

1914 年，雷蒙德·阿奇博尔德（1875—1955）评论了两本关于此话题的书。在对霍布森的《“化圆为方”：一段历史》（该书叙述了汪策尔定理，但没有提到汪策尔的名字）的评论中，他写道：“谁第一个证明了经典的三等分角问题的不可能性？我在任何数学史文献中都没有读到过关于这一点的描述，但该证明肯定早于 1852 年威廉·罗恩·哈密顿爵士写给德·摩根的那封信。”

在他对克莱因的书的评论中，阿奇博尔德写道：

现在，上面提到的暗示（也就是高斯证明了逆命题）已经不再正确。皮尔庞特教授在他（1895 年）的论文《论〈算术研究〉中一个未经证明的定理》中有意思地陈述了这一点。

詹姆斯·皮尔庞特（1822—1893）确实否定了关于高斯的这一错误信息，但他也没提及汪策尔的功劳。相反，他给出了自己的证明。他写道：

然而，知道只有这些多边形能通过几何方式作出要重要得多，因为这样我们关于尺规作正多边形的理论才算完整……（我们的证明）对于填充《算术研究》的读者们感受到的缺陷非常有用。

19 世纪末期和 20 世纪初期的许多数学图书（甚至是那些专门讲述数学史的图书）都讨论了古典问题，却没有提到它们最终的解答。即便提到解答，这些书也经常只是提及化圆为方问题的解答。它们经常把多边形的证明错误地归功于高斯。至于三等分角和倍立方问题的不可能性证明——它们要么不知道这两者已被证明，要么不知道谁给出了第一份证明，要么就搞错了证明人。许多作者简单地引用了一些给出证明的教材，但没有明确说明这是不是第一份证明。

终于，在 1913 年，弗洛里安·卡乔里弄清了真相：

汪策尔对于其他三个著名定理的证明已经被人完全遗忘了。这三个定理就是不可能三等分任意角、不可能倍立方，以及不可能避免不可约三次方程代数解中的“不可约情形”。汪策尔看起来是第一个提出严格证明的人……就我们现在所知，汪策尔最先发表了详细、明确并且完整的证明……这无可争议。

不过，这为时已晚了。那时，错误的信息已经被广泛传播。好心的作者们很可能错过卡乔里的文字，而从许多错误来源获取信息。然后，他们又会把错误信息传递下去。

比如，在 1937 年，也就是汪策尔提出证明 100 年后，E. T. 贝尔发表了一本受欢迎的书——《数学大师》。该书讲述了历史上最伟大的几位数学家的故事。它引人入胜，又鼓舞人心。不过，该书因为只关注男性数学家，以及对数学历史过分戏剧性并且偶尔不正确的描述广受批评。在书中，贝尔写道：

这位年轻人证明了，当且仅当边数为费马质数或者是不同的费马质数的乘积时，尺规可以作有奇数条边的正多边形……他的名字就是高斯。

毫无疑问，这样一本有影响力的书中的论述，会给认为高斯证明了这些定理的观点赋予新的活力。

在 20 世纪中——即便是到了 1990 年——数学家和数学史学家不断地忽略汪策尔及其成果。1986 年，理查德·弗朗西斯写下了下面关于多边形定理的文字，但它们也适用于汪策尔的所有定理：

在如今这个可以快速交流、有着世界范围数学社区、存在大量研究期刊的时代，关于一个流行问题的现状还存在这样的混乱，这实在让人很难理解。但是，谣言在经过了多年的承认以及热心的夸大之后却很难被消灭。

简而言之，在将近一个半世纪之中，都存在几个普遍的困惑：谁证明了什么，什么时候证明的，或者到底有没有人证明过。有些数学家不知道是否存在证明，有些人认为这一结果在很多年前就已经被证明，有些人把所有结果都归功于高斯，有些人把多边形相关的结果归功于高斯。但几乎没有人给过汪策尔他应得的赞扬。

我们可以想象穿越时空回到过去，然后询问数学家们关于这些不可能性定理的问题。他们可能会有如下反应。

我们不是早就知道了吗？这些作图的不可能性已经被自信地断言了两千年。自从古希腊时代以来，人们就广泛相信这些问题不可解。当帕普斯把几何问题分类为平面、立体以及线性问题时，他认为立体和线性问题无法只用尺规解决。这一看法深植于每一位数学家的信条中。

不是笛卡儿证明的吗？笛卡儿的确努力尝试了。他扩展了帕普斯的分类系统，针对什么可能、什么不可能给出了听起来极为复杂的论述。但他的数学让人混乱，复杂难懂。结果到头来，他的数学还远不够严密。

不是高斯证明的吗？高斯确实发现了正多边形可作图性的充分和必要条件。但他没有同时证明两个方向。高斯曾大胆断言一些他知道但是没有发表的观点，而我们之后在他的笔记中发现了更多细节。这已经成为不争的事实。不过可作图性定理看上去不属于这种情况——我们没有找到任何证据，可以表明高斯曾写下了多边形定理逆命题的证明。

高斯根本没有研究三等分角或者倍立方问题。不过，如果高斯真的证明了多边形定理的逆命题，那就暗示了不可能作正九边形。因为正九边形不可作图，40° 角也不可作图，但 120° 角是可作图的，所以高斯本可以很接近证明三等分角的不可能性。但是他没有这样做。

这难道不是高斯的工作的简单推广吗？难道不仅仅是正式写出来就好了吗？耶斯帕·吕岑写过一篇名为《为什么汪策尔被忽略了一个世纪？一个不可能性结果的不停变化的重要性》的优秀文章。他认为上述说法并不正确。

汪策尔“对尺规作图的代数描述确实直接来自高斯，而他关于不可约性的讨论也基于阿贝尔的思想。但是，这些崭新的代数方法在汪策尔的时代可能并非容易理解到读者会认为他的证明过于简单的程度”。

尽管笛卡儿和其他后来者能够把三等分角和倍立方问题翻译成代数方程，在汪策尔之前，还没有人能把几何问题完整地翻译成代数问题。

汪策尔毫无疑问站在了巨人的肩上——正如牛顿那句人尽皆知的自评。但那些巨人是否本可以抵达（至少没有证据表明他们确实抵达了）汪策尔的高度，就不得而知了。

谁在乎呢？吕岑认为，汪策尔可能超越了自己的时代。汪策尔在不可能性结果的黄金时代之前就证明了他的定理。当时，许多数学家还在使用“构造范式”——他们工作的重点在于解决问题。

此外，吕岑写道：“使用代数来证明一个几何定理对于大多数早期现代数学家来说，当然看起来是种非常不自然，也很落后的想法。但这一想法确实出现了。这一事实因此必须被视为一项巨大进步，而不只是理所当然的事。”

类似汪策尔定理的、元数学式的不可能性定理在当时并不流行。正如吕岑指出的，高斯不想在书中多花几页来证明不可能作特定正多边形。相对地，他只是简单地警告了读者不要浪费时间尝试。吕岑认为，汪策尔式的数学在 19 世纪后半叶会很流行；但放在 20 世纪三四十年代，它就是“年轻人的游戏”。

皮埃尔什么？不幸的是，因为汪策尔的职业规划，以及他的英年早逝，他在数学界不甚知名。他从来不是数学机构的一员。比如，他没被选入法国科学院。

汪策尔在证明他的定理时还是个忙碌的工程学学生，后来他全身心投入巴黎综合理工学院的工作。他可能没有和同时代的其他数学家一样“循规蹈矩”——和其他学者见面并通信，分享自己的出版物，谈论自己的工作等。

我们不知道为什么汪策尔和他的工作被忽视了那么久。可能只是祸不单行，所有这些原因都汇聚在一起，让他的工作从公众视野中消失。但帕普斯、笛卡儿、高斯或者他之前的任何人都没有证明这些定理——正如汪策尔自己所知，他写道：“这些在古人之间极其著名的问题，无法用古人们所珍视的几何作图法解决。在我们看来，这一点直到现在才得到了严格证明。”

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图灵新知  2025 年 11 月 17 日 10:00 北京