【数学故事】刘徽用“割圆术”巧算圆面积，也成就了祖冲之“圆周率”奇迹

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【数学故事】刘徽用“割圆术”巧算圆面积，也成就了祖冲之“圆周率”奇迹

原创  缪建平  缪不可言行知录  2026 年 3 月 19 日 19:00  江苏

在古代中国的数学长河里，圆面积和圆周率的计算曾是一大难题，而魏晋数学家刘徽发明的割圆术，不仅解开了巧算圆面积的奥秘，更成为后世祖冲之算出精准圆周率的基石，让中国古代的圆相关计算领先世界数百年，其中的来龙去脉，藏着古人超厉害的数学智慧！

一、数学家刘徽：为《九章算术》做注释的“数学学霸”，直击圆计算的难题

早在汉代，经典数学著作《九章算术》就记载了圆面积的计算方法，但当时的算法只是粗略估算，用的圆周率近似值为 3 ，算出的圆面积误差很大，也没有讲明背后的数学原理。



魏晋时期的刘徽，是一位爱钻研、善推理的“数学学霸”，他深耕《九章算术》，为这部数学“大百科”做详细注释，不仅补充解题步骤，更想彻底解决圆面积和圆周率的精准计算难题。他发现，圆是光滑的曲线图形，直接计算难度极大，但如果用笔直的边去逼近弯曲的圆周，就能一步步算出精准数值，基于这个思路，他创造了流传千古的割圆术，还写下了《海岛算经》，成为中国古代数学的重要奠基人。

二、割圆术的奥秘：把圆割成正多边形，越割越接近圆，巧算圆面积

刘徽的割圆术，核心就是“以直代曲、无限逼近”，用正多边形的面积逐步逼近圆的真实面积，步骤简单又精妙，还藏着圆面积公式 S=πr^2 的计算逻辑：

1. 从正六边形入手：先在圆内画一个内接正六边形，这个正六边形的边长和圆的半径相等，面积能轻松算出，这是最基础的一步；

2. 不断分割加倍边数：把正六边形的每条边平分，画出一个正十二边形，它的面积比正六边形更接近圆的面积；再继续分割，画出正二十四边形、正四十八边形、正九十六边形……每一次分割，正多边形的边数就加倍，边长就变短；



3. 逼近圆的真实面积：圆内接的正多边形边数越多，它的形状就越贴近圆形，和圆周之间的空隙就越小，算出的面积也就越接近圆的真实面积。

刘徽还留下了经典的数学名言：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。意思就是分割得越细，正多边形面积和圆面积的差距就越小，一直分割到不能再分，正多边形就和圆完全重合，算出的就是圆的准确面积了。借助割圆术，刘徽算出了圆周率的近似值 π≈3.14 ，还推算出 3.1416 的近似值，让圆面积的计算第一次变得精准，也让人们对圆周率的认知迈出了关键一步。

三、直观看割圆术：“割之又割”的动态过程，看懂无限逼近的智慧

如果用动画展示刘徽的割圆术，会特别清晰有趣，一眼就能看懂其中的奥秘：

1. 屏幕上先出现一个圆形，中间画一个内接正六边形，能清晰地看到六边形和圆之间还有不少空隙，此时算出的面积和圆的真实面积差距较大；

2. 动画一转，正六边形变成正十二边形，边数变多，边长变短，和圆之间的空隙明显变小，面积更接近圆；

3. 接着正十二边形变成正二十四边形、正四十八边形、正九十六边形……每一次分割，正多边形的边就更密，和圆周贴得更紧，轮廓几乎和圆融为一体；

4. 当边数增加到上百条、上千条时，屏幕上的正多边形已经看不出和圆的区别，完美展现了“割之又割，与圆合体”的过程，也让我们直观理解：圆的面积，其实就是无限多边的正多边形面积。

四、薪火相传：祖冲之继承割圆术，算出精准圆周率，刷新世界纪录

刘徽的割圆术，为圆的计算打下了坚实基础，而两百多年后的南北朝，数学家祖冲之在刘徽的研究成果上，继续深耕割圆术，把圆周率的计算推向了新的高峰，也让圆面积的计算变得更精准。

祖冲之自幼就对数学和天文充满兴趣，他熟读刘徽的著作，深知割圆术的精妙，也知道刘徽算出的 3.14 还能更精准。当时没有计算器，祖冲之只能用最原始的计算工具算筹（一根根竹、木小棍子），一遍遍分割、一遍遍演算。他把圆内接正多边形分割到了正 24576 边形，算筹摆满了屋子，反复核对计算，最终算出了圆周率的精准范围：3.1415926<π<3.1415927 ，精准到了小数点后 7 位！



这个成就有多厉害？它比外国数学家算出相同精度的圆周率早了近千年，人们还把祖冲之算出的分数形式圆周率 π=355/113（密率）称为“祖率”，来纪念他的贡献。而祖冲之能取得这样的成就，核心就是继承并发展了刘徽的割圆术，沿着“以直代曲、无限逼近”的思路，用极致的耐心和严谨，刷新了当时世界的圆周率纪录。

不仅如此，祖冲之还和儿子祖暅一起，在刘徽的研究基础上，解决了球体积的计算难题，推导出了正确的球体积公式 V=4/3πr^3 ，而这个公式的计算，也离不开圆周率的精准数值，这正是割圆术的智慧延续。

五、小感悟：古人的“极限思维”，跨越千年的数学智慧

刘徽的割圆术，看似只是简单的“割圆”，背后却藏着超先进的极限思维——用无限接近的方式，解决看似无法精准计算的曲线问题，这在一千七百多年前，是非常了不起的数学想法！

从刘徽发明割圆术，算出 3.14 的圆周率，为圆面积公式 S=πr^2 提供精准支撑；到祖冲之继承割圆术，分割至正 24576 边形，算出小数点后 7 位的精准圆周率，让圆面积、球体积的计算更精准，中国古代数学家们用“薪火相传”的钻研精神，让圆的计算智慧不断升级。

他们没有精密的工具，全靠思考、推理和极致的耐心，一步步解开数学难题，这份勇于探索、善于创新、精益求精的精神，跨越千年依然闪耀。

而割圆术也告诉我们：遇到看似复杂的难题时，不妨像古人一样，把难题拆解开，一步步去探索、去逼近，就有可能找到解决问题的好方法，这就是数学的魅力，也是古人留给我们的珍贵智慧！

缪不可言行知录