位值制记数法与无限循环小数

Ysu2008

（一）
数学中数字的表示法采用的是“位值制记数法”，细节去百度。

位值制记数法可以看作是一个多项式，或者是求和式。
以十进制为例。
整数  213 = 200 + 10 + 3 = 2×10^2 + 1×10^1 + 3×10^0
小数  0.213 = 0.2 + 0.01 + 0.003 = 2×10^(-1) + 1×10^(-2) + 3×10^(-3)

（二）
整明白了位值制记数法，然后我们来说无限循环小数 0.3...
小数点后有无穷多个 3 ，写不完，所以就以省略号表示。
这里的省略号代表了小数点后无穷多个 3 的全体。注意是全体！是全体！！

所以  0.3... = 0.3 + 0.03 + 0.003 + ...      ——(A)
上面(A)式右边是一个无穷等比数列全体的和，这个和 = 等比数列前 n 项的和在 n→∞ 时的极限。

设等比数列首项为 a , 公比为 q , 那么前 n 项的和 S(n) = a(1-q^n)/(1-q)
如果 |q| < 1 , 在 n→∞ 时，S(n) 有极限 lim S(n) = lim a(1-q^n)/(1-q) = a/(1-q)

(A)式右边是首项为 0.3 ，公比为 0.1 的等比数列前 n 项的和在 n→∞ 时的极限.

所以  0.3... = 0.3 + 0.03 + 0.003 + ... = lim 0.3(1-0.1^n)/(1-0.1) = 0.3/(1-0.1) = 1/3

即 0.3... = 1/3

（三）
所有的无限循环小数，都可以看作有极限的无穷等比级数，都可以用上面的方法化为分数形式。
如 0.9... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + ...
首项为 0.9 ，公比为 0.1 , 所以 0.9... = lim 0.9(1-0.1^n)/(1-0.1) = 0.9/(1-0.1) = 1

无限循环小数当然、自然而且必然写不完，所以省略不写。省略不写并不意味着不精确。
因为省略号代表了全体，全了体了就当然、自然而且必然是精确的！

Ysu2008

没有省略号时，只能写作约等于：
0.3 ≈ 1/3
0.9 ≈ 1

打了省略号就可以写作等于：
0.3 ... = 1/3
0.9 ... = 1

某些人几十年整明白了很多事情，唯一没整明白的就是这个省略号的真正含义。

elim

从论坛的实际情况看，副教授容易出纰漏。可能是想升正教授想疯了，走火入魔的缘故吧？

jzkyllcjl

第一，数列极限表示的是趋向，不是到达。 例如; n→∞  表示的是自然数数列{n}无限增大趋向于 非正常数+∞。但不能达到 +∞ 。
无尽循环小数表示的无穷数列 0.3，0.33，0.333，……的极限是理想实数1/3, 但不能达到1/3. 现行教科书中的等式1/3=0.333……不成立；成立的应当是极限性等式lim n→∞{0.3，0.33，0.333，……}=1/3 或写作limn→∞ 0.33……3(n个3)=1/3 或写作limn→∞ 0.33……=1/3 或写作0.333，……→1/3；也可以写作全能近似等式0.333，……~1/3 后者表示一系列近似等式  1/3≈0.3；1/3≈0.33；1/3≈0.333；……。上述无穷数列{0.3，0.33，0.333，……}中的数都是理想实数1/3 近似值，而这个无穷数列是它的全能近似值，理想实数与其近似值之间具有相互依存的对立统一关系，而全能近似值数列是联系两者的桥梁，将数列取极限得理想实数，将数列在适当处截断得到它的适当的近似值；绝对准理想实数与其近似值各有各的优点与独特的应用。根号2与圆周率的无尽小数也是如此。使用无穷数列阐述 无尽小数与实数理论的方法就是使用唯物辩证法。恩格斯指出“笛卡儿的变数是数学中的转折点，因此运动和辩证法便进入了数学领域”。下边提出无尽小数与实数理论的十点说明。
说明一：a0.a1a2……an……   是永远写不到底的事物，它不是定数，它是随着小数点后的数字的无限增加而增大着的变数；如果不把它分解为提出它的无穷数列：a0.a1， a0.a1a2， a0.a1a2a3，…… ， a0.a1a2……an，……  就没有用处，分解之后的这个数列的通项 a0.a1a2……an 是实数α的准确到1/10^n的以十进位有尽小数（有理数的一种）表示的不足近似值，就可在无尽小数永远写不到底的事实下，正确理解无尽小数的实用意义。例如：近似值是必须使用的（例如：1斤西瓜三等分，无法称出0.333……斤，使用0.33斤代表1/3斤以了）。至于这个数列，它是康托尔实数理论中的以有理数为项的基本数列，这个数列的极限才是实数α，从这个数列中可以找到满足任意小误差界的实数α的近似值，所以，应当称这个数列为实数α的全能近似值数列。所以，笔者称：无尽小数表达式a0.a1a2……an……   是康托儿基本无穷数列：a0.a1， a0.a1a2， a0.a1a2a3，……的简写，它的极限才是理想性质的实数。这个认识是必要的：因为：第一，由于无尽小数没有最后一位，无尽小数的四则运算无法使用有尽小数的四则运算法则，无尽小数的四则运算需要把它看作收敛数列逐项四则运算得出收敛数列；第二，e^√2需要使用√2的无穷数列1.4，1.41，1.414，……去把它看作有意义的分数幂序列的极限；第三，研究二项式定理的异于自然数的实数幂时，需要把它看作对于自然数n的泰勒多项式的当n趋向于无穷的极限。
关于省略号,需要知道它的语文意义是省略, 省略具有可以补写 的意义,但这个无尽小数是补写不完的工作,不能因为 加上省略号 就相等了.

elim

数列的极限就是数列的聚点。是确定的。数列可以描述过程，但数列本身不是过程。到达根本就不是数学概念。老头这辈子没有搞懂数列，也没有搞懂极限。光顾倒行逆施，追求畜生不如了。现在书泡汤，人被唾弃。活该。

Ysu2008

jzkyllcjl 发表于 2018-6-1 02:19
第一，数列极限表示的是趋向，不是到达。 例如; n→∞  表示的是自然数数列{n}无限增大趋向于 非正常数+∞ ...

省略号表示有无穷多个，不是什么补写。

0.3 ... = 0.3 + 0.03 + 0.003 + ...  ， 是无穷多个数相加，这就是前有限项的极限。

0.3 ... 已经是极限了，也就是：

lim 0.3(1 - 0.1^n)/(1 - 0.1) = 0.3 ...